Question

qual é o ponto do eixo OX equidistante dos pontos A(1,-3) e B(3,-1)?

Answer 1

$\bullet~~$ Achar o coeficiente angular $m$ da reta que passa por $A(1,\,-3)$ e $B(3,\,-1):$

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}\\\\\\ m=\dfrac{-1-(-3)}{3-1}\\\\\\ m=\dfrac{-1+3}{2}\\\\\\ m=\dfrac{2}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} m=1 \end{array}}$


$\bullet~~$ Achar o ponto $M(x_{_{m}},\,y_{_{M}}),$ ponto médio do segmento $AB:$

$x_{_{M}}=\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2}\\\\\\ x_{_{M}}=\dfrac{1+3}{2}\\\\\\ x_{_{M}}=\dfrac{4}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x_{_{M}}=2 \end{array}}\\\\\\\\ y_{_{M}}=\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2}\\\\\\ y_{_{M}}=\dfrac{-3+(-1)}{2}\\\\\\ y_{_{M}}=\dfrac{-3-1}{2}\\\\\\ y_{_{M}}=\dfrac{-4}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y_{_{M}}=-2 \end{array}}$


Logo, o ponto médio é $M(2,\,-2).$


$\bullet~~$ Encontrar o coeficiente angular $m_{\perp}$ da reta mediatriz do segmento $AB$

(A reta mediatriz de $AB$ é a reta que passa pelo ponto médio de $AB$ e é perpendicular ao segmento $AB$ )


Como a reta mediatriz é perpendicular ao segmento $AB,$ devemos ter

$m_{\perp}\cdot m=-1\\\\ m_{\perp}=-\,\dfrac{1}{m}\\\\\\ m_{\perp}=-\,\dfrac{1}{1}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} m_{\perp}=-1 \end{array}}$


$\bullet~~$ A equação da reta mediatriz do segmento $AB:$

(reta que passa pelo ponto $M(2,\,-2)$ com coeficiente angular $m_{\perp}=-1$ )

$r:~~y-y_{_{M}}=m_{\perp}\cdot (x-x_{_{M}})\\\\ r:~~y-(-2)=(-1)\cdot (x-2)\\\\ r:~~y+2=-x+2\\\\ r:~~y=-x+2-2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}r:~~y=-x \end{array}}$


Todos os pontos da reta mediatriz $r$ são equidistantes dos pontos $A$ e $B.$


Queremos o ponto de $r$ que esteja sobre o eixo $Ox.$ Então, basta fazermos

$y=0$

na equação da reta mediatriz:

$0=-x\\\\ x=0$


O ponto procurado é o ponto $P(0,\,0),$ que é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.