Question

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x. 5y.7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é:
a) x.y.z
b) (x+1).(y+1)
c) x.y.z -1
d) (x+1).(y+1).z
e) (x+1).(y+1).(z+1) -1

Answer 1

Já resolvi essa questão, no enunciado diz $2^x.5^y.7^z$. Só para que você saiba, também escrevemos potência assim: 2^x . 5^y . 7^z, com esse acento circunflexo.

Resolução:

Como N não é múltiplo de 7, podemos fazer z = 0 pois 7⁰ = 1. Assim,  escrevemos

N = $2^x.5^y.7^0$

O número de divisores de N positivos é (x + 1).(y + 1).(x + 1). Portanto, o número de divisores positivos de N, que são diferentes de N, é (x + 1).(y + 1).(z + 1) -1. Como N não é múltiplo de 7, x ≠ 0, y ≠ 0 e z = 0. (z + 1) = (0 + 1), retira a possibilidade da multiplicidade por 7.

Resposta: item (e)

Answer 2

Resposta:

Imaginem um número N = 2x⋅5y⋅7z , a questão não está interessada em calcular x, y e z. Queremos calcular o número de divisores e como fazer isso? O x, y e z são expoentes dos números 2, 5 e 7!

Vamos pensar no que acontece em casos mais simples

Ex:

4 = 2², e seus divisores são 1, 2 e 4

8 = 2³, e seus divisores são 1, 2, 4 e 8

Será que somos capazes de generalizar para 2x?

2² tem expoente 2 e possui 3 divisores ou 2+1

2³tem expoente 3 e possui 4 divisores ou 3+1

2x tem expoente x e possui x+1 divisores!!

Espero que esteja claro até aqui vamos seguir com mais exemplos

6 = 2¹.3¹, seus divisores são 1, 2, 3, 6

36 = 4 . 9 = 2².3², seus divisores são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Perceba que podemos expandir a ideia de que o numero de divisores é dado pelo (expoente do primo) + 1.

voltando para o 6, o expoente do 2 é 1 e do 3 também é 1. Possui 4 divisores ou (1(expoente do 2)+1) x (1(expoente do 3)+1) = 2 x 2 =4

36, o expoente do 2 é 2 e do 3 também é 2. Possui 9 divisores ou (2(expoente do 2)+1) x (2(expoente do 3)+1) = 3 x 3 = 9

Considere agora um numero da forma 2x 3y o número de divisores é dado por (x+1)(y+1)!!!

Agora podemos pensar no problema N é dado por 2x⋅5y⋅7z  então seus divisores são (x+1)⋅(y+1)⋅(z+1). E agora que não tem essa alternativa? uma informação importante na questão "O número de divisores de N, diferentes de N" para fazer isso devemos subtrair 1 ficamos com

(x+1)(y+1)(z+1)-1

Alternativa E

Explicação passo-a-passo: