Question

Em coordenadas esféricas a expressão 1/(√x²+y²+z²) é equivalente a:
Escolha uma:
a. ρ
b. 1/ρ²
c. 1/ρ
d. Nenhuma das anteriores.
e. ρ²

Answer 1

Olá, Arrigoni.

O sistema de coordenadas esféricas é dado por:

$\begin{cases}{x}=\rho \, \sin\phi \, \cos\theta \\ {y}=\rho \, \sin\phi \, \sin\theta \\ {z}=\rho \, \cos\phi\end{cases} \\\\\\ \frac1{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac1{\sqrt{(\rho \, \sin\phi \, \cos\theta)^2+(\rho \, \sin\phi \, \sin\theta)^2+(\rho \, \cos\phi)^2}}=\\\\ =\frac1{\sqrt{\rho\² \, \sin\²\phi \, \cos\²\theta+\rho\² \, \sin\²\phi \, \sin\²\theta+\rho\² \, \cos\²\phi}}=\\\\ =\frac1{\sqrt{\rho\² \, \sin\²\phi \, \underbrace{(\cos\²\theta+\sin\²\theta)}_{=1}+\rho\² \, \cos\²\phi}}=$

$=\frac1{\sqrt{\rho\² \, \sin\²\phi +\rho\² \, \cos\²\phi}}=\\\\ =\frac1{\sqrt{\rho\² \,\underbrace{(\sin\²\phi + \cos\²\phi)}_{=1}}}=\\\\ =\frac1{\sqrt{\rho\²}}=\\\\ =\boxed{\frac1\rho}$