Question

Ai galera! O primeiro que responder esta pergunta ganha o prêmio de melhor resposta... Quem desistir só pedir que depois de dez minutos eu dou a resposta
Quantos números existem entre 1995 e 2312 que são divisíveis por 4 e não são divisíveis por 200?

Answer 1

1998, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 2024, 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068, 2072, 2076, 2080, 2084, 2088, 2092, 2096, 2104, 2108, 2112, 2116, 2120, 2124, 2128, 2132, 2136, 2140, 2144, 2148, 2152, 2156, 2160, 2164, 2168, 2172, 2176, 2080, 2184, 2188, 2192, 2196, 2204, 2208, 2212, 2216, 2220, 2224, 2228, 2232, 2236, 2240, 2244, 2248, 2252, 2256, 2260, 2264, 2268, 2272, 2276, 2280, 2284, 2288, 2292, 2296, 2304, 2308, 2312 fui a primeira a responder

Answer 2

Seja $\Omega$ o seguinte conjunto de números naturais:

$\Omega=\{\omega\in\mathbb{N}:~1\,995<\omega<2\,312\}\\\\ \Omega=\{1\,996,\,1\,997,\,1\,998,\,\ldots,\,2\,311\}$

_______________________________

Seja $E_1$ um subconjunto de $\Omega,$ definido como

$E_1=\{\omega\in\Omega:~\omega\text{ \'e m\'ultiplo de }4\}\\\\ E_1=\{1\,996,\,2\,000,\,2\,004,\,\ldots,\,2\,304,\,2\,308\}$

Note que os elementos de $E_1$ formam uma progressão aritmética de razão $r=4,$ dado pelo seguinte termo geral:

$\boxed{\begin{array}{c} a_n=1\,996+4(n-1) \end{array}}$


Para qual valor de $n,$ temos $a_n=2\,308?$

(encontrar a posição do último termo)

$1\,996+4(n-1)=2\,308\\\\ 4(n-1)=2\,308-1\,996\\\\ 4(n-1)=312\\\\ n-1=\dfrac{312}{4}\\\\\\ n-1=78\\\\ n=79$

Logo, a sequência dos múltiplos de $4$ é dada por


$\boxed{\begin{array}{c} a_n=1\,996+4(n-1) \end{array}}~~~~~~n=1,\,2,\,\ldots,\,79$

que é uma P.A. com $79$ termos.


Portanto, o conjunto $E_1$ possui $79$ elementos.

_______________________________

Seja $E_2$ outro subconjunto de $\Omega,$ definido por

$E_2=\{\omega\in\Omega:~\omega\text{ \'e m\'ultiplo de }200\}\\\\ E_2=\{2\,000,\,2\,200\}$

Veja que $E_2$ só tem dois elementos.


Além disso, note que

$E_2\cap E_1=E_2.$

(todo múltiplo de $200$ também é múltiplo de $4.$ )

________________________________

Portanto, queremos saber quantos elementos tem o conjunto $E_1-E_2$

(este é o conjunto dos múltiplos de $4,$ mas não de $200$ )


O resultado é uma subtração direta:

$79-2=77\text{ n\'umeros}.$


Há $77$ números entre $1\,995$ e $2\,312,$ que são múltiplos de $4,$ mas não de $200.$