Question

1) Quantos multiplos de 7 existem entre 100 e 800?

2) O 5° e o 8° termo de uma P.A. crescente são, respectivamente,as raízes da equação x²-6x+8=0. Calcule a1 e a12?

Answer 1

1)

100 não é múltiplo de 7. O primeiro múltiplo de 7 depois de 100 é o 105

Depois só ir aumentando de 7 em 7 (112, 119 etc.)

800 também não é múltiplo de 7. O último múltiplo de 7 antes de 800 é o 798)

Os anteriores são: 791, 784 etc.
_________________

Logo, temos a seguinte P.A: 105, 112, 119, ..., 784, 791, 798

Temos que encontrar o número de termos dessa P.A

$a_{1}=105\\r=7\\n=?\\a_{n}=798$

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r\\798=105+(n-1)7\\\\798-105=(n-1)7\\693=(n-1)7\\693/7=n-1\\99=n-1\\99+1=n\\n=100$

Existem 100 múltiplos de 7 entre 100 e 800
_____________________________

2)

$x^{2}-6x+8=0$

Soma das raízes: S
Produto das raízes: P

$S=-b/a=-(-6)/1=6\\P=c/a=8/1=8$

Raízes: 2 números cuja soma é 6 e o produto é 8

$x'=2\\x''=4$

Como a P.A é crescente, o oitavo termo é maior que o quinto

$a_{5}=2\\a_{8}=4\\\\a_{5}=2\\a_{1}+4r=2\\\\a_{8}=4\\a_{1}+7r=4$

Sistema:

$\left \{ {{a_{1}+7r=4} \atop {a_{1}+4r=2}} \right.$

Subtraindo membro a membro:

$a_{1}-a_{1}+7r-4r=4-2\\3r=2\\r=2/3$

$a_{1}+4r=2\\a_{1}=2-4r\\a_{1}=2-4(2/3)\\a_{1}=2-(8/3)\\a_{1}=(2*3/3)-(5/3)\\a_{1}=(6/3)-(8/3)\\a_{1}=(6-8)/3\\a_{1}=-2/3$

Calculando a₁₂:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r\\a_{12}=a_{1}+(12-1)r\\a_{12}=a_{1}+11r\\a_{12}=(-2/3)+11(2/3)\\a_{12}=(2/3)*(-1+11)\\a_{12}=(2/3)*10\\a_{12}=20/3$