Question

A expressão f(x) = ax^2+bx+c, em que a,b e c são constantes reais, define uma função f, de R em R. Se f(0)= 2, f(1)= 3 e f(-2)= 1, determine:
a) os valores de a,b,c;
b) a expressão de f(x);
c) a imagem de x= -2/3;
d) f(-1), f(4), f(2/5).

Resposta
a) 1/6, 5/6, 2
b) x^2/6+5x/6+2
c) 41/27
d) f(-1)=4/3 , f(4)=8, f(2/5)= 59/25

Answer 1

f(x) = ax²+bx+c
f(0) = 2
a(0)² + b(0) + c = 2
c = 2

f(1)= 3
a(1)² + b(1) + 2 = 3
a + b = 3 - 2
a + b = 1

f(-2)= 1
a(-2)² + b(-2) + 2 = 1
4a - 2b = 1 - 2
4a - 2b = -1 

Resolvendo o sistema:
a + b = 1
4a - 2b = -1

isolando a na primeira equação, temos:
a = 1 - b
substituindo na segunda equação, temos:
4a - 2b = -1
4.(1 - b) - 2b = -1
4 - 4b - 2b = -1
-6b = -1 -4
-6b = -5
b = 5/6

a = 1 - b
a = 1 - 5/6
a = 1/6

B) A expressão f(x)
f(x) = 1/6x² + 5/6x + 2

C) a imagem de x= -2/3:
f(x) = 1/6x² + 5/6x + 2
f(-2/3) = (-2/3)². (1/6 )+ (5/6).(-2/3) + 2
f(-2/3) = (4/9). (1/6) - 10/18 + 2
f(-2/3) = 4/54 - 10/18 + 2
Simplificando por 2 as frações, temos:
f(-2/3) = 2/27 - 5/9 + 2
Tirando o mmc e aplicando a regra de dividir pelo debaixo e multiplicando pelo de cima, temos = (2 -15 +54)/27 = 41/27

d) f(-1), f(4), f(2/5)
f(x) = 1/6x² + 5/6x + 2
f(-1) = 1/6 . (-1)² + 5/6 . (-1) + 2
f(-1) = 1/6 - 5/6 + 2
Tirando o MMC e aplicando a regra de dividir pelo debaixo e multiplicando pelo de cima, temos = (1 -5 +12)/6 = 8/6 = 4/3

f(x) = 1/6x² + 5/6x + 2
f(4) = 1/6 . (4)² + 5/6 . (4) + 2
f(4) = 16/6 + 20/6 + 2
Tirando o MMC e aplicando a regra de dividir pelo debaixo e multiplicando pelo de cima, temos = (16 + 20 +12)/6 = 48/6 = 8

f(x) = 1/6x² + 5/6x + 2
f(2/5) = 1/6 . (2/5)² + 5/6 . (2/5) + 2
f(2/5) = 1/6 . (4/25) + 10/30 + 2
f(2/5) = 4/150 + 10/30 + 2
Tirando o MMC e aplicando a regra de dividir pelo debaixo e multiplicando pelo de cima, temos = (4 + 50 +300)/150 = 354/150 (simplificando por 6) = 59/25