Question

Calcule o valor da soma S= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} ...... + \frac{1}{2014.2015} + \frac{1}{2015.2016}$ Por favor galera! E deixem os cálculos :)

Answer 1

Olá!

Apliquemos o conceito de SOMA PARCIAL, veja:

Um termo:

$\\ S_1 = \frac{1}{2}$

Dois termos:

$\\ S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \\\\ S_2 = \frac{2}{3}$

Três termos:

$\\ S_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \\\\ S_3 = \frac{3}{4}$

(...)

 Note que os somas obtidas parcialmente seguem um padrão (denominador = numerador + UM).

 Com isso, podemos supor que para "n" termos, teremos $S_n = \frac{n}{n + 1}$, onde $n \in \mathbb{N}^*$.

 O que temos a fazer agora é provar a hipótese acima; mas acho que não há necessidade. Todavia, tal demonstração pode ser feita aplicando o Princípio da Indução (1ª forma).

 Segue,

$\\ S_n = \frac{n}{n + 1} \\\\ S_{2015} = \frac{2015}{2015 + 1} \\\\ \boxed{S_{2015} = \frac{2015}{2016}}$

 Boa questão!!