Question

3ª parte: Cálculo de volume de um sólido de revolução!

Answer 1

7)

$\\ V = \pi \int\limits^4_0 {(4y-y^2)^2-0^2} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^4_0 {(4y)^2-2*4y*y^2+(y^2)^2} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^1_0 {16y^2-8y^3+y^4} \, dx \\ \\ V = \pi [ \frac{16y^3}{3} -2y^4+ \frac{y^5}{5} ](0,4) \\ \\ V = \pi [ \frac{16*4^3}{3} -2*4^4+ \frac{4^5}{5} ] \\ \\ V = \pi [ \frac{1024}{3} -512+ \frac{1024}{5} ] \\ \\ V = \pi [ \frac{1024*5-512*15+1024*3}{15} ] \\ \\ V = \pi [ \frac{512}{15} ] \\ \\ V = \frac{512 \pi }{15} u.v$

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8)

Vamos calcular na direção de y:

Y = x²

x = √y

x = 0 é a reta inferior:
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$\\ V = \pi \int\limits^2_0 {( \sqrt{x})^2 -0^2} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^2_0 {x} \, dx \\ \\ V = \pi [ \frac{x^2}{2} ](0,2) \\ \\ V = \pi [ \frac{2^2}{2} -0] \\ \\ V = 2 \pi u.v$

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9)

Vamos calcular o ponto de interseção:

y² = 2+y

y²-y-2=0

y²+(-2y+y)-2=0

y²+y-2y-2=0

y(y+1)-2(y+1)=0

(y-2)(y+1) = 0

y = 2 ou  y = -1
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Calcularemos a integral de -1 a 2:


Da função superior menos a inferior.

$\\ V = \pi \int\limits {(2+y)^2-(y^2)^2} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits {2^2+2*2y+y^2-y^4} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits4+4y+y^2-y^4 \, dx \\ \\ V = \pi [ 4y+ \frac{4y^2}{2} + \frac{y^3}{3} - \frac{y^5}{5} ](-1,2) \\ \\ V = \pi [4y+2y^2 + \frac{y^3}{3} - \frac{y^5}{5} ](-1,2) \\ \\ V = \pi [4*2+2(2)^2+ \frac{2^3}{3} - \frac{2^5}{5} -(4*-1+2(-1)^2+ \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^5}{5} ) \\ \\ V = \pi [8+8+ \frac{8}{3} - \frac{32}{5} +4-2+ \frac{1}{3} -1/5]$


$\\ V = \pi [18+3 - \frac{33}{5} ] \\ \\ V = \pi [ \frac{18*5+3*5-33}{5} ] \\ \\ V = \pi [ \frac{72}{5} ] \\ \\ V = \frac{72 \pi }{5} u.v$

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10)

Vamos encontrar o ponto de interseção:

x² = 4-x²

2x² = 4

x² = 2

x = +/- √2
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vamos calcular o volume de 0 a √2 multiplicado por dois:

Da função Y = 4-x² menos a função Y = x²

$\\ V = 2\pi \int\limits{(4-x^2)^2-(x^2)^2} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits {4^2-2*4*x^2+(x^2)^2-x^4} \, dx \\ \\ V = 2\pi \int\limits16-8x^2 \, dx \\ \\ V = 2\pi [16x- \frac{8x^3}{3} ](0, \sqrt{2} ) \\ \\ V = 2 \pi [ 16* \sqrt{2} - \frac{8*( \sqrt{2} )^3}{3} -0] \\ \\ V = 2 \pi [ 16 \sqrt{2} - \frac{8 \sqrt{8} }{3} ] \\ \\ V = 2 \pi [ 16 \sqrt{2} - \frac{8*2 \sqrt{2} }{3} ] \\ \\ V = 2 \pi [16 \sqrt{2} - \frac{16 \sqrt{2} }{3} ]$


$\\ V = 2 \pi [\frac{3*16 \sqrt{2}-16 \sqrt{2} }{3} ] \\ \\ V = 2 \pi [ \frac{2*16 \sqrt{2} }{3} ] \\ \\ V = \frac{64 \pi \sqrt{2} }{3} u.v$