Question

Calcule a integral dupla da região:$Z= x^{2}y - 2xy, 0 \leq x \leq 3, -2 \leq y \leq 1.$ me ajudem!! já fiz ela várias vezes, e sempre da errado.

Answer 1

Desejamos encontrar

$\displaystyle\iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy$,

onde $D=[0,3]\times[-2,1]~~(ret\^angulo)$ e $f(x,y)=x^{2}y-2xy$

Podemos usar o Teorema de Fubini e encontrar o resultado, mas, notando que

$f(x,y)=x^{2}y-2xy=y\cdot(x^{2}-2x)$ é uma função separável, podemos resumir a integral dupla como o produto de duas integrais:

$\displaystyle\iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=\left(\int_{0}^{3}x^{2}-2x\,dx\right)\cdot\left(\int_{-2}^{1}y\,dy\right)\\\\\\\iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=\left(\bigg[\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}\bigg]_{0}^{3}\right)\cdot\left(\bigg[\dfrac{y^{2}}{2}\bigg]_{-2}^{1}\right)\\\\\\\iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=\left(\dfrac{3^{3}}{3}-3^{2}-\dfrac{0^{3}}{3}+0^{2}\right)\left(\dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{(-2)^{2}}{2}\right)\\\\\\\iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=\left(9-9\right)\cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{2}\right)$


$\displaystyle\iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=0\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)\\\\\\\boxed{\boxed{\iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=0}}$