Question

Seja o número complexo Z= i^101+ i^102+ i^103+ i^104+ i^105+ i^106. Calcule Z^2

Answer 1

i^101=101÷4=25,...
ou seja i^=^ao resto da conta nesse caso o 1
i^101=i^1=i
i^102=i^2=-1
i^103=i^3=-i
i^104=i^0=1
i^105=i^1=i
i^106=i^2=-1
i+(-1)+(-i)+1+i+(-1)=z
z=i-1
z^2=(i-1)^2
z^2=i^2-2i+(-1)^2
z^2=-1-2i+1
z^2=-2i

Answer 2

O quadrado desse número complexo é equivalente a -2i.

Esta questão está relacionada com os números complexos. Os números complexos são números irracionais, resultados de uma raiz com radicando negativo. Dessa maneira, para tirar o sinal de negativo de dentro da raiz, utilizamos a letra "i".

Note que podemos conseguir diferentes valores de para "i" dependendo do expoente a qual ele está elevado. Contudo, os resultados se repetem de 4 em 4. Veja abaixo:

$i^0=1\\ i^1=i\\ i^2=-1\\ i^3=-i\\ \\ i^4=1\\ i^5=i\\ i^6=-1\\ i^7=-i$

Desse modo, vamos determinar os valores de cada parcela da conta analisando seu expoente. Assim, temos as seguintes equivalências:

$i^{101}=i^1=i\\ i^{102}=i^2=-1\\ i^{103}=i^3=-i\\ i^{104}=i^0=1\\ i^{105}=i^1=i\\ i^{106}=i^2=-1$

Substituindo esses valores na expressão fornecida, obtemos o seguinte número complexo:

$Z=i+(-1)+(-i)+1+i+(-1)=i-1$

Por fim, podemos determinar qual é o valor correspondente ao quadrado desse número complexo. Portanto, esse valor será:

$Z^2=(i-1)^2=i^2-2i+1=-1-2i+1=-2i$

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