Question

Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?

Answer 1

$dados:\begin{cases}a _{1}=112\\ a _{n}=250\\ r=23\\ n=? \end{cases}$

Pela fórmula do termo geral, vem:

$a _{n}=a _{1}+(n-1)r\\ 250=112+(n-1)*23\\ 250-112=23n-23\\ 138=23n-23\\ 138+23=23n\\ 161=23n\\ n=161/23\\ n=7~\to~7~termos-2~extremos~(112~e~250)=5~meios\\\\ \boxed{Portanto,~5~meios,~devemos~interpolar}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos ;D

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o número de meios da referida progressão aritmética é:

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m = 5\:\:\:}}\end{gathered} }$

Pra trabalharmos com progressão aritmética, devemos utilizar a seguinte fórmula do termo geral:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{n} = A_{1} + (n - 1)\cdot r\end{gathered}$

Além disso, devemos saber que o número total de termos "n" é igual ao número de meios "m" acrescido de "2", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = m + 2\end{gathered}$

Inserindo o valor de "n" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{m + 2} = A_{1} + \left[(m + 2) - 1\right]\cdot r\end{gathered}$

Já que queremos encontrar o valor de "m", devemos isolar "m" no primeiro membro da equação "III". Para isso, devemos realizar as seguintes manipulações algébricas:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{m + 2} = A_{1} + \left[(m + 2) - 1\right]\cdot r\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{m + 2} = A_{1} + \left[m + 2 - 1\right]\cdot r\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{m + 2} = A_{1} + \left[m + 1\right]\cdot r\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{m + 2} - A_{1} = \left[m + 1\right]\cdot r\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{A_{m + 2} - A_{1}}{r} = m + 1\end{gathered} }$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{A_{m + 2} - A_{1}}{r} - 1 = m\end{gathered} }$

Invertendo os membros da última equação, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} m = \frac{A_{m + 2} - A_{1}}{r} - 1\end{gathered} }$

Se os dados são:

                        $\Large\begin{cases} A_{m + 2} = 250\\A_{1} = 112\\r = 23\\m = \:?\end{cases}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = \frac{250 - 112}{23} - 1\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{138}{23} - 1\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 6 - 1\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 5\end{gathered}$

✅ Portanto, o número de meios é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = 5\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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