Question

Resolva a equação ...5+12+19+...+ x =365

Provavelmente é sobre P.A. !

Answer 1

Sim, essa é uma questão sobre PA! :D

Quando se fala em soma dos termos de uma PA sempre gosto de frisar que existem duas fórmulas para se calcular a soma dos $n$ primeiros termos dela:

$1- \ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\\ \\ 2-\ S_n=n.a_1+\frac{rn(n-1)}{2}$

Nessa questão creio que seja melhor usar a segunda, pois, assim, encontramos o valor de $n$ e poderemos usá-lo na fórmula do termo geral.

i) Perceba que o primeiro membro dessa igualdade, a soma, é a soma dos termos de uma PA finita, onde o primeiro termo vale 5, ou seja, $a_1=5$, a razão vale 7, ou seja, $r=7$ e o último termo vale $x$, isso quer dizer que $a_n=x$.
Usaremos a fórmula número 2, pois acho que ela seja a melhor para esse problema:

$n.5+\frac{7n(n-1)}{2}=365\Rightarrow 10n+7n^2-7n=730\Rightarrow 7n^2+3n-730=0$

Resolvendo a equação do segundo grau acima encontramos:

$\Delta=3^2-4.7.(-730)\Rightarrow \Delta=9+20440\Rightarrow \Delta=20449$

$n=\frac{-3\pm\sqrt\Delta}{2.7}\\ \\ n=\frac{-3\pm\sqrt{20449}}{14}\\ \\ n=\frac{-3\pm143}{14}\\ \\ \boxed{n=10} \ \mathrm{ou} \ \boxed{n=-\frac{146}{14}=-\frac{73}{7}}$

Como o número de termos de uma PA só pode ser um número natural temos, então, que $n=10$.

ii) Agora que temos o número de termos da PA precisamos apenas usar a fórmula do termo geral para encontrar o valor de $x$:

$a_n=a_1+(n-1)r\ {a_n=x\atop \Longrightarrow} x=5+(10-1)7\\ \\ x=5+9.7\Rightarrow x=5+63\\ \\ \boxed{\boxed{x=68}}$