Question

Como resolver passo a passo as equações irracionais?
$\sqrt{x} = \sqrt{13+ \sqrt{x-7} }$

Answer 1

Eleva os dois lados ao quadrado para eliminar as primeiras raízes:

$(\sqrt{x})^2 = (\sqrt{13 + \sqrt{x-7}})^2 \\\\ x = 13 + \sqrt{x-7} \\\\ x - 13 = \sqrt{x-7}$

Eleva novamente os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz que sobrou:

$(x-13)^2 = ( \sqrt{x-7})^2 \\\\ x^2 - 26x + 169 = x - 7 \\\\ x^2 - 26x - x + 169 + 7 = 0 \\\\ x^2 - 27x + 176 = 0$

Δ = 729 - 704 
Δ =  25

$x1 = \frac{27 + \sqrt{25} }{2} ; \\\\ x1 = 16 \\\\ x2 = \frac{27 - \sqrt{25} }{2} ; \\\\ x2 = 11$

Verificar se x1 e x2 é solução válida:

x1:

$\sqrt{16} = \sqrt{13 + \sqrt{16 - 7}} \\\\ 4 = \sqrt{13 + 3} \\\\ 4 = \sqrt{16} \\\\ 4 = 4 \ \ OK$

x2: 

$\sqrt{11} = \sqrt{13 + \sqrt{11 - 7}} \\\\ \sqrt{11} = \sqrt{13 + \sqrt{4}} \\\\ \sqrt{11} \neq \sqrt{15}$

Portanto, somente x1 é solução válida:

S = {16}

;)