Question

(OBM) A função f : R → R satisfaz a condição f(x + f(y)) = x + f(f(y)) para todos os números reais x e y.

Sabendo que f(2) = 8, o valor de f(2005) é:

a) 2005

b) 2011

c) 2017

d) 2022

Answer 1

Temos uma função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ definida da seguinte forma:

$\bullet~\mathbf{(I)}~~~\forall~x,\,y\in\mathbb{R},~~~~f(x+f(y))=x+f(f(y))\\\\ \bullet~\mathbf{(II)}~~~f(2)=8$

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Seja um $x\in\mathbb{R}$ qualquer. Sendo assim, segue que

$f(2)=8\\\\ x+f(2)=x+8$


Aplicando $f$ aos dois lados da igualdade acima, e usando a definição dada por $\mathbf{(I)}\,,$ temos

$f(x+f(2))=f(x+8)\\\\ x+f(f(2))=f(x+8)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x+f(8)=f(x+8) \end{array}}~~~~~~\mathbf{(i)}$

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Conhecemos o valor de $f(2).$ Sendo assim, vamos escolher um $x$ adequado para a equação $\mathbf{(i)}\,,$ de forma que

$x+8=2\\\\ x=2-8\\\\ x=-6$


e substituindo em $\mathbf{(i)}\,$ obtemos

$-6+f(8)=f(2)\\\\ -6+f(8)=8\\\\ f(8)=8+6\\\\ \boxed{\begin{array}{c} f(8)=14 \end{array}}$

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Como queremos $f(2\,005),$ basta tomarmos um $x$ adequado para a equação $\mathbf{(i)}\,,$ de forma que

$x+8=2\,005\\\\ x=2\,005-8\\\\ x=1\,997$


Substituindo em $\mathbf{(i)}$ esse valor de $x\,,$ obtemos

$1\,997+f(8)=f(2\,005)\\\\ f(2\,005)=1\,997+14\\\\ \boxed{\begin{array}{c} f(2\,005)=2\,011 \end{array}}$


Resposta: alternativa $\text{b) }2\,011.$