Question

Determine a e b em P(X) = -3x4 + ax3 - 5x2 + bx - 2 , sabendo que 1 é a raiz de p(x) e que p(2) = -80. Sendo assim os valores de a e b respectivamente , são :

Answer 1

Bom dia Gabriel!

Solução !

Vamos substituir e transformar o polinômio em um sistema com duas variáveis.

$P(x)=-3 x^{4} +a x^{3} -5 x^{2} +bx-2\\\\\ P(1)=-3 (1)^{4} +a (1)^{3} -5 (1)^{2} +b(1)-2\\\\\ -3+a-5+b-2=0\\\\\ a+b-10=0\\\\\ a+b=10\Rightarrow primeira~~Equac\~ao$


$P(x)=-3 x^{4} +a x^{3} -5 x^{2} +bx-2\\\\ P(2)=-3 x^{4} +a x^{3} -5 x^{2} +bx-2\\\\\ -3 (2)^{4} +a (2)^{3} -5 (2)^{2} +b(2)-2=-80\\\\\\ -3(16) +a(8) -5(4) +b(2)-2=-80\\\\\\ -48+8a-20+2b-2=-80\\\\\\ 8a+2b-70=-80\\\\\ 8a+2b=-80+70\\\\\\ 8a+2b=-10 \Rightarrow Segunda~~equac\~ao$

Vamos agora montar o sistema.

$\begin{cases} a+b=10\\ 8a+2b=-10 \end{cases}$

Vamos dividir por -2.

$\begin{cases} a+b=10\\ 8a+2b=-10:(-2) \end{cases}\\\\\\ \begin{cases} a+b=10\\ -4a-b=5 \end{cases}\\\\\\ -4a+a=10+5\\\\\ -3a=15\\\\\ a= \frac{15}{-3} \\\\\ a=-5$


$a+b=10\\\\\\ -5+b=10\\\\ b=10+5\\\\ b=15$

$Resposta:S= \{-5,15\}}$

Bom dia!
Bons estudos!