Question

Derivada das Funções trigonométricas. parte 2
me ajudem por favor para hoje urgente...
Obs; explicar passo a passo da resolução.
Calcule as derivadas das funções trigonométricas dadas abaixo:



a) $y=sen\:\left(5t+2\right).$

b) $y^3+\left(cos\:x\right)y+7=0.$

2) calcule a derivada segunda de $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Answer 1

a)
$y'=[sen(5t+2)]'=\cos(5t+2).(5t+2)'=\\ = \cos(5t+2).5=5.\cos(5t+2)$
b)
$y^3+(\cos x)y+7=0\\ (\cos x)y=-y^3-7\ \ \ \ |:y\\ \cos x=\frac{-y^3-7}y\\ \cos x=-y^2-\frac7y\\ x=\arccos(-y^2-\frac7y)\\ x'=[\arccos(-y^2-\frac7y)]'=\frac{-1}{\sqrt{1-(-y^2-\frac7y)^2}}.(-y^2-\frac7y)'=\\ =\frac{-1}{\sqrt{1-(-y^2-\frac7y)^2}}.(-2y+\frac7{y^2})=\frac{2y-\frac7{y^2}}{\sqrt{1-(-y^2-\frac7y)^2}}$

2)
$f(x)=\frac1x\\ f(x)=x^{-1}\\ f'(x)=(x^{-1})'=-1.x^{-2}\\ f''(x)=(-1.x^{-2})'=-1.(-2).x^{-3}=2.x^{-3}=\boxed{\frac2{x^3}}$

Answer 2

Boa noite Luana!

Solução!

$a)~~~y=sen(5t+2)\\\\\\ y=sen(5t+2).(5t+2)\\\\\ y'=cos(5t+2).5\\\\\ y=5cos(5t+2)$

$\boxed{'y=5cos(5t+2)}$


$b)~~ y^{3}+cos(x)y+7=0\\\\\\ Derivada~~implicita. \\\\\\\\ y^{3}+ycos(x)+7=0\\\\\ \dfrac{d(y^{3}) }{dx} + \boxed{\dfrac{d( ycox(x))}{dx}} = \dfrac{d(-7)}{dx}$


Nessa parte que esta dentro do quadrado vamos aplicar a derivada do produto,pois como pode observar temos uma multiplicação.


$y=y.cos(x)\\\\\ u=y~~~~v=cos(x)\\\\\ u'=1~~~~v'=-sen(x)\\\\\ Vamos~~substituir~~nessa~~formula.\\\\ y=u\times v'+u'\times v$


$y'=y\times -sen(x)'+1\timescos(x)\\\\\\ y'=-ysen(x)+cos(x)\\\\\\ Vamos~~ substituir~~na~~func\~ao~~acima!$



$\dfrac{d(y^{3}) }{dx} + \boxed{\dfrac{d( ycox(x))}{dx}} = \dfrac{d(-7)}{dx}\\\\\\ 3y^{2}y' -ysen(x)+cos(x)y' = 0\\\\\\ 3y^{2}y'+cos(x)y'-ysen(x)=0\\\\\\\ y'(3y^{2} +cos(x)) =ysen(x)\\\\\\ y'= \dfrac{ysen(x)}{3y^{2}+cos(x)}\\\\\\ \boxed{Resposta:y'= \dfrac{ysen(x)}{3y^{2}+cos(x)}}$


$[tex]c)~~y= \dfrac{1}{x} \\\\\\ y=1.x^{-1}\\\\\\ y'=-1.1. x^{(-1-1)} \\\\\\\ y'=-1. x^{-2}\\\\\\\ y'= -\dfrac{1}{ x^{2} }\\\\\\ y''=-1. x^{-2} \\\\\ y''=-2.-1. x^{(-2-1)}\\\\\\ y''=2. x^{(-2-1)}\\\\\\ y''=2. x^{(-3)}\\\\\\ y''= \dfrac{2}{ x^{3} }$

$\boxed{Resposta:y''= \dfrac{2}{ x^{3} }}$


Boa noite!
Bons estudos!