Question

Tinha 6 olhando e nenhum respondeu,affs
Boa noite, alguém me ajude nesta integral ? Usando o método da substituição , como é que se faz ?$\int\limits { \frac{ \sqrt{1+ \sqrt{x} }}{x} } \, dx$

Answer 1

$u=\sqrt{1+\sqrt{x}}\to x=(u^2-1)^2\to dx=4u(u^2-1)du\\ \\ \\ \displaystyle I=\int\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x}\;dx\\ \\ \\ I=\int \dfrac{u}{(u^2-1)^2}\cdot 4u(u^2-1)\;du\\ \\ \\ I=4\int \dfrac{u^2}{u^2-1}\,du\\ \\ \\ I=4\int 1+\dfrac{1}{u^2-1}\,du\\ \\ \\ I=4u+2\ln\left|\dfrac{u-1}{u+1}\right|+C\\ \\ \\ \boxed{I=4\sqrt{1+\sqrt{x}}+2\ln\left|\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{x}}-1}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}\right|+C}$