Question

Sabendo-se que -1 é uma das raízes da equação x³-4x²+x+6=0,o produto de todas as raízes é:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Michelle, que é simples.
Pede-se o produto de todas as raízes da equação abaixo, sabendo-se que "-1" é uma das raízes dela:

x³ - 4x² + x + 6 = 0

Veja: se "-1" é uma das raízes da equação acima, então ela será divisível por: x - (-1) = x+1 . Assim, dividiremos a equação dada por "x+1" e encontraremos, como quociente, uma equação do 2º grau. Em seguida, encontraremos as raízes do quociente e teremos as três raízes da equação dada , pois já sabemos que uma delas é igual a "-1".
Vamos à divisão :

x³ - 4x² + x + 6 |_x+1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . .  x² - 5x + 6 <---- quociente
-x³-x²
--------------
0-5x² + x + 6
.+5x² +5x
-----------------------
.....0 + 6x + 6
........ - 6x - 6
--------------------
............0....0  <----- Resto (note que o resto teria que ser zero mesmo, pois toda raiz "zera" a equação da qual é raiz).

Agora vamos tomar o quociente e vamos encontrar as suas raízes. O quociente é este:

x² - 5x + 6 ------ igualando esta equação a zero para encontrar suas raízes, teremos:

x² - 5x + 6 = 0 ----- aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = 2
x'' = 3.

Dessa forma, como já sabemos que uma das raízes é igual a "-1", então o produto entre todas as três raízes será:

(-1)*2*3 = - 6 <---- Esta é a resposta. Este é o produto entre todas as raízes da equação dada.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

Answer 2

Seja $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ uma equação, onde $a \neq 0$. Sabe-se que:

- A soma das raízes é dada por: $- \frac{b}{a}$;

- A soma dos produtos tomados dois a dois é dada por: $+ \frac{c}{a}$;

- O produto das raízes é dada por: $- \frac{d}{a}$.

 Por fim, basta substituir veja:

$\\ P = - \frac{d}{a} \\\\ P = - \frac{6}{1} \\\\ \boxed{\boxed{P = - 6}}$