Question

Determine em E R na função quadrática f dada por f(x) = mx² + (m-1)x + (m+2) para que o conjunto imagem de f seja IM = { y E R / y menor ou igual a 2 }

Answer 1

 Olá Laurelidb!A imagem da função quadrática dependerá do valor do coeficiente do termo de grau 2.

 Temos duas possibilidades: m > 0 e m < 0.

 Se $m > 0$, então $\left \{ y \in \mathbb{R} | y \geq - \frac{\Delta}{4a} \right \}$;

E, se $m<0$, então $\left \{ y \in \mathbb{R} | y \leq - \frac{\Delta}{4a} \right \}$.

 De acordo com o enunciado, o conjunto-imagem da função $f$ apresenta a desigualdade menor ou igual, então podemos tirar que m < 0.

 Segue,

$\\ y \leq - \frac{\Delta}{4a} \\\\ y \leq - \frac{(m - 1)^2 - 4 \cdot m \cdot (m + 2)}{4 \cdot m} \\\\ y \leq - \frac{m^2 - 2m + 1 - 4m^2 - 8m}{4m} \\\\ y \leq - \frac{- 3m^2 - 10m + 1}{4m} \\\\ y \leq \frac{3m^2 + 10m - 1}{4m}$

 Por comparação,

$\\ y \leq \frac{3m^2 + 10m - 1}{4m} \Leftrightarrow y \leq 2 \\\\\\ \frac{3m^2 + 10m - 1}{4m} = 2 \\\\ 3m^2 + 10m - 1 = 8m \\\\ 3m^2 + 2m - 1 = 0 \\\\ 3m^2 + 3m - m - 1 = 0 \\\\ 3m(m + 1) - 1(m + 1) = 0 \\\\ (3m - 1)(m + 1) = 0 \\\\ \boxed{\boxed{S=\left\{- 1 \right \}}}$