Question

seis prismas triangulares regulares de arestas da base 2cm foram juntados formando um prisma hexagonal regular..

A) O VOLUME TOTAL DOS 6 PRISMAS TRIANGULARES SOMADOS É IGUAL MAIOR OU MENOR QUE O VOLUME DO PRISMA HEXAGONAL?

B) A ÁREA TOTAL DOS 6 PRISMAS TRIANGULARES SOMADOS É IGUAL MAIOR OU MENOR QUE A AREA TOTAL DO PRISMA HEXAGONAL?

Answer 1

A)
Seguinte:
Um triangulo regular possui os 3 lados iguais e os 3 ângulos iguais (triangulo equilátero), sua área é calculada por:
$A_{\triangle}=\frac{b.h}{2}\\b=l\\h=\frac{l.\sqrt{3}}{2}\\\therefore\\A_{\triangle}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$
Já o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros juntos(que nem na imagem)
A área do Hexágono regular é calculada por:
$A_{hex}=6.A_{\triangle}$ (6x a área do triangulo regular)
Como o volume é área x altura do sólido, teremos que a área do prisma triangular será de $A_{p\triangle}=A_{base}.h_{prisma}\implies A_{p\triangle}=\frac{l^{2}.\sqrt{3}}{2}.h_{prisma}$
Enquanto o do hexágono será de 
$A_{pHex}=A_{base}.h_{prisma}\implies A_{pHex}=6.\frac{l^{2}.\sqrt{3}}{2}.h_{prisma}$
Percebeu? São 6 prismas triangulares juntos que formam um prisma hexagonal! São iguais as áreas do 6 primas triangulares e a do prisma hexagonal.

B)
Para calcular a área total, precisa calcular a área dos lados e somar com a área das bases de modo que ficaria assim no prisma triangular:
$A_{t\triangle}=3.A_{lateral}+2.A_{base}$
Já a do prisma hexagonal:
$A_{tHex}=6.A_{lateral}+2.A_{base}$
Como são 6 prismas triangulares multiplicamos por 6:
$A_{t\triangle}=3.A_{lateral}+2.A_{base} .(6)\implies A_{t\triangle}=18.A_{lateral}+12.A_{base}$
Isso é bem maior do que a área total do hexágono. Então a resposta é Maior.

Answer 2

a) O volume é igual (mesma base e mesma altura )
b) A área total é maior ( mesma base mas está trocando 18 faces laterais por seis faces laterais)