Question

Sabendo que no plano cartesiano II a distância entre o sol e a Terra é de 20 unidades de comprimento, determine as coordenadas da posição da terra para que os astros estejam alinhados.
Dados
S(0,0)
L(9,12)
T(x,y)

Answer 1

x = 9·k   e  y = 12 ·k

√[ (9k)² +(12k)²] = 30 ⇒√(81k²+144k²) = 30 ⇒√225k² = 30 ⇒15k = 30 ⇒k=2

x = 9·2 = 18      e   y = 12·2 = 24

Answer 2

Resposta:

A Terra está no ponto T(12,16).

Explicação passo-a-passo:

Para que os três pontos estejam alinhados, deve existir uma reta que passa por eles. Vamos determinar a equação desta reta utilizando os dois pontos existentes.

$y=ax+b\\ \\ 0=0a+b\\ b=0\\ \\ 12=9a+0\\ a=\frac{4}{3}\\ \\ \boxed{y=\frac{4}{3}x}$

Agora, vamos utilizar a equação que permite calcular a distância entre dois pontos e igualar ela 20 unidades de comprimento, que é a distância do ponto T ao ponto S.

$d_{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\ \\ 20=\sqrt{x^2+y^2}\\ \\ x^2+y^2=400$

Contudo, note que através da equação da reta, podemos substituir o valor de Y por X. Com isso, podemos determinar a abscissa do ponto T e, com seu valor, determinar a ordenada do ponto.

$x^2+(\frac{4}{3})x^2=400\\ \\\frac{25}{9}x^2=400\\ \\x^2=144\\ \\ x=12$

Por fim, a ordenada do ponto será: $y=\frac{4}{3}\times 12=16$

Portanto, o ponto da Terra no plano cartesiano é: (12,16).