Question

O valor de n, para que o número de combinações de n elementos tomados dois a dois seja igual ao número de combinações de n elementos tomados quatro a quatro é:

(a) 4 (b) 7 (c) 5 (d) 8 (e) 6

Calculo por favor!! Resposta correta letra E

Answer 1

Vamos lá.

Antes veja que:

i) Combinação de "n" elementos tomados "2" a "2" é dada assim:

C(n, 2) = n!/[(n-2)!2!]

ii) Combinação de "n" elementos tomados "4" a "4" é dada assim:

C(n, 4) = n!/[(n-4)!4!]

iii) Como queremos que sejam iguais, então vamos igualar as duas expressões. Logo:

n!/[(n-2)!2!] = n!/[(n-4)!4!] ----- note que 2! = 2*1 = 2; e 4! = 4*3*2*1 = 24. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos isto:

n!/[(n-2)!*2] = n!/[(n-4)!*24] --- ou, o que é a mesma coisa:
n!/[2*(n-2)!] = n!/[24*(n-4)!] ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "n!", com o que vamos ficar apenas com:

1/2*(n-2)! = 1/24*(n-4)! ---- vamos multiplicar em cruz, ficando:
24*(n-4)!*1 = 2*(n-2)!*1  --- ou apenas:
24*(n-4)! = 2*(n-2)! ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos apenas com:

12*(n-4)! = (n-2)!

Agora faremos o seguinte: desenvolveremos (n-2)! até (n-4)!. Assim, vamos ficar da seguinte forma;

12*(n-4)! = (n-2)*(n-3)*(n-4)! ----- vamos dividir ambos os membros por (n-4)!, com o que ficaremos apenas com:

12 = (n-2)*(n-3) ------ efetuando este produto, teremos:
12 = n² - 5n + 6 ----- passando "12" para o 2º membro, ficaremos:
0 = n² - 5n + 6 - 12 ---- ou apenas:
0 = n² - 5n - 6 --- ou, invertendo-se:
n² - 5n - 6 = 0 ------- aplicando Bháskara, encontram-se as seguintes raízes:

n' = -1
n'' = 6

Agora note uma coisa importante: se você for substituir o "n" por "-1" vai notar que iremos ficar com fatorial de número negativo e isso não existe. Assim, ficaremos com a segunda raiz, que é:

n = 6 <--- Esta é a resposta. Opção "e".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.