Question

quem souber ajude. .........

Answer 1

A medição começa a partir das 12:00 e desejamos encontrar os extremos absolutos de V medida até as 17:00

No começo do experimento (12:00), temos t = 0
No final do experimento (17:00), temos t = 5 (5 horas após o início)

Logo, devemos encontrar os extremos absolutos de V no intervalo [0,5]. Como V é contínua e está definida num intervalo fechado, é garantida a existência de máximo e mínimo absolutos no conjunto
_____________________________

Primeiros candidatos: Extremos do intervalo

$t=0~\rightarrow~V_{0}=\dfrac{0^{3}}{3}-\dfrac{5}{2}0^{2}+6(0)+15=\dfrac{90}{6}\\\\\\t=5~\rightarrow~V_{5}=\dfrac{5^{3}}{3}-\dfrac{5}{2}5^{2}+6(5)+15=\dfrac{145}{6}$

Próximos candidatos: Pontos críticos da função

Derivando V em relação a t, temos:

$V'(t)=\dfrac{3}{3}t^{2}-2\cdot\dfrac{5}{2}t+6+0=t^{2}-5t+6$

V'(t) é uma função polinomial, logo está definida em toda a reta, então os únicos pontos críticos são os que anulam V'(t), se existirem.

Encontrando a soma e o produto das raízes de V'(t):

$S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{(-5)}{1}=5~~~~~~~~~~P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{6}{1}=6$

Portanto, as raízes de V'(t) são t = 2 e t = 3 (poderíamos encontrá-las aplicando Bhaskara)

Próximo passo: Estudar o sinal da função derivada

V'(t) tem como gráfico um parábola com concavidade para cima, logo é negativa para t no intervalo (2,3), nula para t = 2 ou t = 3 e positiva para o restante da reta.

Temos, então:

$V~crescente~se~t\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)\\V~decrescente~se~t\in(2,3)$

V é crescente se t < 2 e decrescente se 2 < t < 3, então temos ponto de máximo relativo em t = 2

V é decrescente se 2 < t < 3 e crescente se t > 3, então temos ponto de mínimo relativo em t = 3

Agora, basta encontrarmos V(2) e V(3):

$V_{2}=\dfrac{2^{3}}{3}-\dfrac{5}{2}2^{2}+6(2)+15=\dfrac{118}{6}\\\\\\V_{3}=\dfrac{3^{3}}{3}-\dfrac{5}{2}3^{2}+6(3)+15=\dfrac{117}{6}$

Comparando os valores encontrados, temos

$V_{0}~\textless~V_{3}~\textless~V_{2}~\textless~V_{5}$

Portanto:

V atinge valor mínimo em t = 0 (12:00) e esse corresponde a 15 volts

V atinge valor máximo em t = 5 (17:00) e esse corresponde a $\frac{145}{6}\approx24,2$ volts