Question

calcule lim f(x+h)-f(x)/h quando h tendendo 0 sendo f dada por:
A) f(x)=2x²+x
B) f(x)=-x³+2x

Answer 1

Olá!
A) f(x) = 2x²+x -> Em ambos os casos, devemos encontrar f(x+h) , pois já temos f(x). Logo:
f(x+h) = 2(x+h)²+(x+h) Logo:

lim f(x+h) - f(x) / h = lim 2(x+h)²+(x+h) - (2x²+x) / h = 
          h->0                         h->0

= lim 2(x²+2xh+h²)+x+h - 2x² - x / h = lim 2x²+4xh+2h²+x+h - 2x²-x / h =
   h->0                                                 h->0

= lim 4xh+2h²+h / h = lim h(4x+2h+1) / h = lim 4x+2h+1 = 4x+1 
   h->0                         h->0                         h->0

B) f(x) = -x³+2x -> Da mesma forma:
f(x+h) = -(x+h)³+2(x+h) -> Logo:

lim f(x+h) - f(x) / h = lim -(x+h)³+2(x+h) - (-x³+2x) / h =
h->0                         h->0

= lim -(x³+3x²h+3xh²+h³)+2(x+h) + x³ - 2x / h = 
   h->0

= lim -x³-3x²h-3xh²-h³+2x+2h + x³-2x / h = lim -3x²h-3xh²-h³+2h / h =
   h->0                                                         h->0

= lim h(-3x²-3xh-h³+2) / h = lim -3x²-3xh-h³+2 = -3x²+2
   h->0                                   h->0

Espero ter ajudado! :)