Question

sabendo que - 5 é Uma das raízes do polinomio f (x) = 5x^3 - 5x^2 - 105x + 225, qual é a razão entre as outras raízes de f (x)?

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se: sabendo-se que "-5" é uma das raízes do polinômio abaixo, pede-se a razão (r) entre as outras duas raízes.

f(x) = 5x³ - 5x² - 105x + 225

Agora veja: se "-5" é uma das raízes, então o polinômio acima será divisível por: (x-(-5)) = (x+5). Ou seja, quando um polinômio é divisível por outro é porque deixa resto igual a zero.
Então vamos fazer a divisão do polinômio acima por (x+5). Com isso, encontraremos o quociente correspondente. Assim, encontraremos quais são as raízes da expressão que der nesse quociente e, depois, veremos qual é a razão (r) entre as outras duas raízes.
Vamos à divisão proposta:

5x³ - 5x² - 105x + 225 |_x + 5_ <--------- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5x²-30x+45 <--- quociente
-5x³-25x²
---------------------------
0 - 30x² - 105x + 225
...+ 30x²+150x
-------------------------------
........0 + 45x + 225
............- 45x - 225
-------------------------------
.................0.......0 <---- Veja que o resto teria que ser mesmo igual a "0", pois o polinômio é divisível por (x+5) e, como tal deixa resto "0".

Agora vamos tomar o quociente encontrado e vamos encontrar suas raízes. O quociente encontrado é este:

5x² - 30x + 45  ----- para encontrar suas raízes, vamos igualá-lo a zero, ficando:

5x² - 30x + 45 = 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "5", com o que ficaremos:

x² - 6x + 9 = 0 ----- aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes:

x' = x'' = 3 <--- Ou seja, temos duas raízes reais e iguais a "3".
Então a razão (r)  entre elas será de:

r = 3/3
r = 1 <---- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.