Question

Exercício de função. Pergunta está na imagem

Answer 1

Fazendo a troca $x\rightarrow 2-x$ na equação com a função:

$f(2-x)+(2-x)\cdot f(2-(2-x))=(2-x)^2+2\\\\ f(2-x)+(2-x)\cdot f(x)=(2-x)^2+2$

Agora, temos duas equações com $f(x)$ e $f(2-x)$. Vamos encontrar $f(x)$:

$\left \{ {f(x)+x\cdot f(2-x)=x^2+2} \atop {f(2-x)+(2-x)\cdot f(x)=(2-x)^2+2}} \right.$

Multiplicando a segunda equação por (-x), e somando as duas equações, temos:

$\left \{ {f(x)+x\cdot f(2-x)=x^2+2} \atop {-x\cdot f(2-x)+(-x)\cdot(2-x)\cdot f(x)=(-x)\cdot((2-x)^2+2)}} \right. \\\\ f(x)-x(2-x)f(x)=(x^2+2)-x((2-x)^2+2)\\\\ f(x)\cdot(x^2-2x+1)=x^2+2-x(x^2-4x+6)\\\\ f(x)=\dfrac{-x^3+5x^2-6x+2}{(x-1)^2}=\dfrac{-(x-1)(x^2-4x+2)}{(x-1)^2}\\\\ f(x)=-(x^2-4x+2)$

Agora, basta calcular f(x) para os valores que queremos:

$f(1)=-(1^2-4\cdot1+2)=-(1-4+2)=1\\ f(2)=-(2^2-4\cdot2+2)=-(4-8+2)=2\\ f(3)=-(3^2-4\cdot3+2)=-(9-12+2)=1\\\\ \Longrightarrow f(1)+f(2)+f(3)=4$