Question

3) Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em outro quadrado. Pode-se calcular a área do
quadrado interno, subtraindo-se da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. Feito isso,
verifica-se que A é uma função da medida x. O valor mínimo de A é:
a) 16 cm2 b) 24 cm2 c) 28 cm2 d) 32 cm2 e) 48 cm2

Answer 1

- O quadrado externo tem 8 cm de lado; 

- Internamente você tem quatro triângulos retângulos congruentes cujos catetos medem " x " e " 8 - x " 

A área do quadrado externo é 8(8) = 64 cm ² 

A área de cada triângulo é x(8-x)/2 {base vezes altura dividido por 2} 

Como você tem 4 triângulos a área desses 4 triângulos é: 

4x(8 - x)/2 = 2x(8 - x) = 16x - 2x ² 

A área " A " do quadrado inscrito, em função de x, é a área do quadrado externo menos a área dos quatro triângulos, ou seja, 

A = 64 - (16x - 2x ²) 

A = 64 - 16x + 2x ² 

A = 2x ² - 16x + 64 

Como você postou a questão em "engenharia" você já deve saber derivadas e cálculo de mínimos e máximos; se ainda não aprendeu ou não se lembra vou explicar, no final, pelo método do estudo de funções do 2º grau que você aprendeu no ensino médio. 

Por cálculo(engenharia) 

(derivada primeira) = A ' = dA/dx = 4x - 16 

Ponto de inflexão => 4x - 16 = 0 => 4x = 16 => x = 16/4 => x = 4 

(derivada segunda) = A " = dA '/dx = 4 > 0 , ou seja, existe uma inflexão num ponto de mínimo. 

Como, 

A = 2x ² - 16x + 64 e x = 4 (inflexão) 

Amin = 2(4) ² -16(4) + 64 = 2(16) - 64 + 64 = 32 cm ² 

Por função do 2º grau(ensino médio) 

A = 2x ² - 16x + 64 

A abcissa do vértice (máximo ou mínimo) ocorre para x = - b/2a 

Lembre-se que " b " é o coeficiente de " x " e " a " o coeficiente de " x ² ", 

x = -(-16)/2(2) = 16/4 = 4 

Portanto x = 4 cm . Por enquanto você não sabe se é máximo ou mínimo. 

Como " a " > 0 a função é uma parábola com a concavidade voltada para cima, ou seja, em forma de " U ". Então o vértice é um ponto de mínimo. Como x = 4 cm, basta você substituí-lo na função e encontrará o mesmo valor, ou seja, 32 cm ².