Question

me expliquem a questao 8 por favor, no gabarito diz ×=2 (impossivel).

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Júlia, que é simples.
Pede-se para resolver a seguinte equação, que vamos igualá-la a zero, pois estamos querendo encontrar suas raízes. Assim:

1/(x-2) + 1/x - 1/2 + 1/(x-2) = 0  ---- para facilitar, vamos organizar, ficando:

1/(x-2) + 1/(x-2) + 1/x - 1/2 = 0 ---- note que:1/(x-2) + 1/(x-2), por terem o mesmo denominador, poderemos fazer assim:

(1 + 1)/(x-2) + 1/x - 1/2 = 0
2/(x-2) + 1/x - 1/2 = 0 ----- agora vamos encontrar o mmc, que será o produto entre os denominadores, ou seja, será: (2*x*(x-2)). Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos:

[2x*2 + 2*(x-2)*1 - x*(x-2)*1]/(2x*(x-2)) = 0
[4x + 2x-4 - x² + 2x]/(2x²-4x) = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, ficaremos:

[-x² + 8x - 4]/(2x²-4x) = 0

Agora veja que temos aqui o quociente de duas funções do 2º grau, cujo resultado terá que ser igual a zero.
Para isso, a equação do numerador terá que ser, NECESSARIAMENTE, igual a zero, enquanto a equação do denominador terá que, também NECESSARIAMENTE, DIFERENTE de zero, pois não há divisão por zero.
Assim, deveremos ter que:

-x² + 8x - 4 = 0 
e
2x² - 4x ≠ 0

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos logo para o denominador, para saber quais são os valores que "x" jamais poderá assumir, pois não há divisão por zero.  Assim, trabalhando-se com o denominador, teremos:

2x² - 4x ≠ 0 ----- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

x² - 2x ≠ 0 ----- vamos pôr "x" em evidência, ficando assim:
x*(x - 2) ≠ 0 ----- daqui você já conclui que:

ou
x ≠ 0 ----> x' ≠ 0
ou
x-2 ≠ 0 ---> x'' ≠ 2 .

Assim, como você poderá concluir,  "x" jamais poderá assumir valores iguais a "0" ou "2", pois se vier a assumir esses valores, iremos ter uma divisão por zero e isto não existe.

ii) Agora vamos trabalhar com o numerador, que é este (e que deverá ser, necessariamente, igual a zero):

-x² + 8x - 4 = 0 ---- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos:

x² - 8x + 4 = 0 ----- aplicando Bháskara, vemos que as raízes desta equação serão:

x' = 4 - 2√(3) ------ (o que dá mais ou menos igual a "0,536")
e
x'' = 4 + 2√(3) ---- (o que dá mais ou menos igual a "7,464")

Note que ambas as raízes encontradas aí em cima para o numerador são válidas, pois elas estão obecendo às condições de existência da função, que é "x" jamais assumir valores iguais a "0" ou "2", como vimos antes.

Assim, os valores que fazem com que a equação do numerador seja igual a zero serão:

x' = 4 - 2√(3) e x'' = 4 + 2√(3) <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma:

S = {4-2√(3); 4+2√(3)}

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.