Ana tem quatro cartões triangulares iguais, cujos lados, em centímetros, medem a, b e c, sendo a, b e c, números naturais distintos. Se Ana unir dois dos cartões juntando seus lados maiores, formará um quadrilátero com perímetro de 26 cm, como na figura 1. Entretando, se ela unir os outros dois cartões juntando seus lados menores, formará um quadrilátero com perímetro de 30cm, como na figura 2. Qual é o perímetro de cada cartão triangular?
Respostas
Então no primeiro quadrilátero teremos os lados a juntos e o perimetro formado pelos lados b e c, logo: Perimetro = b + b + c + c = 26
2b + 2c = 26 /2
b + c = 13
No segundo, teremos os lados c juntos e o perimetro vai ser: 2a + 2b = 30
simplificando, fica a + b = 15
Diminuindo uma expressão da outra teremos:
a + b = 15
c + b = 13 -
--------------
a - c = 2 ( b - b = 0)
a = c - 2
Como a é maior que b que é maior que c e o a é maior duas unidade de c, consequentemente b será uma unidade maior que c. Logo:
b = c - 1.
Usando a primeira expressão.
c + c - 1 = 13
2c = 12
c = 12/2
c = 6
b = c + 1 = 7
a = c + 2 = 8
logo
a + b + c = 8 + 7 + 6 = 21cm.
c + b = 13 -
--------------
a - c = 2 ( b - b = 0)
a = c - 2
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Conforme o enunciado, se for o lado maior e o lado menor dos
triângulos, temos que > > > 0, 2 + 2 = 30 e que 2 +2 = 26.
Logo, + = 15 e + = 13. Assim, + 13 − = 15 e, portanto,
= +2. Como > > > 0 são números naturais, segue que
= + 1 e que = + 2 = + 1. Substituindo por + 1 na equação
+ = 15, obtemos que + 1+ = 15, logo, = 7.
Consequentemente, = 7+ 1 = 8 e = 7 − 1 = 6. Finalmente, o
perímetro do triângulo é + + = 8 + 7+ 6 = 21 cm.
Observamos que, ao unir os cartões por um de seus lados iguais, Ana deve escolher a posição de cada cartão
dentre duas posições possíveis. Logo, após escolher o lado comum dos cartões, Ana tem quatro possibilidades
para uni-los, mas em todas as quatro escolhas o quadrilátero formado terá o mesmo perímetro. A figura abaixo,
mostra as quatro possibilidades para o caso em que Ana escolheu o lado maior para unir os cartões. Nesse caso,
o perímetro do quadrilátero é igual a 2b+ 2c = 2(b + c).