Question

sendo sen x= 12/13 e sen y=4/5, ond x e y são do primeiro quadrante, então sen(x-y) é igual a:
a)48/65
b)112/65
c)48/60
d)56/65
e)16/65

Answer 1

Devemos saber que: $sen(x-y)=senx\cdot cosy-seny\cdot cosx$. Dessa forma, precisamos descobrir $cosx$ e $cosy$. Usando a relação fundamental ($sen^2a+cos^2a=1$):

$sen^2x+cos^2x=1\Longrightarrow (\dfrac{12}{13})^2+cos^2x=1\Longrightarrow cos^2x=\dfrac{25}{169}\\\\ cosx=\pm\dfrac{5}{13}\Longrightarrow <span>cosx=\dfrac{5}{13}</span>$

$sen^2y+cos^2y=1\Longrightarrow (\dfrac{4}{5})^2+cos^2y=1\Longrightarrow cos^2y=\dfrac{9}{16}\\\\ cosy=\pm\dfrac{3}{5}\Longrightarrow cosy=\dfrac{3}{5}<span>$

Obs: cosx e cosy assumiram os valores positivos, pois x e y são do primeiro quadrante.

Assim, calculando $sen(x-y)$:

$sen(x-y)=senx\cdot cosy-seny\cdot cos x=\dfrac{12}{13}\times\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}\times\dfrac{5}{13}\\\\=\dfrac{36}{65}-\dfrac{20}{65}=\boxed{\dfrac{16}{65}}\Longrightarrow Letra~E$