Question

Sabendo que a maior raiz da equação do 2º grau, de coeficientes inteiros, ax2 + bx + 66 = 0 é 5 + , determine o coeficiente b.

(A) 30
(B) -30
(C) 20
(D) -20
(E) 10

Gostaria de uma resolução, passo a passo, do problema.
Grata. ^^

Answer 1

$ax^2+bx+66=0$

uma das raízes $\boxed{ x'=5+ \sqrt{3} }$

uma equação do segundo grau pode ser escrita utilizando as raízes desta forma
$ax^2-Sx+P=$

S = soma das raízes
P = produto das raízes

veja que o coeficiente B = -S = soma das raízes
e o coeficiente C = P = produto das raízes
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$S= \frac{-B}{A}= x'+x''$
s = soma das raízes
x' e x'' são as raízes
vc pode ver que a soma das raízes é = $\frac{-B}{A}$
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$P= \frac{C}{A} = x'*x''$
P = produto das raízes
x' * x'' é a multiplicação das duas raízes
e o resltado da multiplicação das raízes é = $\frac{C}{A}$
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 "equação do 2º grau, de coeficientes inteiros"

$ax^2+bx+66=0$

se ela tem coeficientes inteiros..ela tem raízes conjulgadas 
então as raízes são
$x'=5+ \sqrt{3} \\\\x''=5- \sqrt{3}$

agora calculando a soma das raízes
$S=5+ \sqrt{3} +(5- \sqrt{3}\\\\\ S=5+5+( \sqrt{3} - \sqrt{3} )\\\\S=10+0\\\\S=10$

então sabemos que $\frac{-B}{A} =10$

agora calculando o produto das raízes
$P=(5+ \sqrt{3} )*(5- \sqrt{3} )\\\\P=(5*5)+(5*(- \sqrt{3} ))+ (\sqrt{3} *5)+( \sqrt{3} *(- \sqrt{3} )\\\\P=25+(-5 \sqrt{3} )+(5 \sqrt{3)} +(-( \sqrt{3})^2 )\\\\P=25-3\\\\P=22$
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então teriamos achado a seguinte equação
$Ax^2-10x+22=0$

comparando com a primeira equação 
$ax^2+bx+66=0$

o coeficiente C da primeira equação encontrada tem que ser 22

sabendo que $P = \frac{C}{A} \\\\22= \frac{60}{A} \\\\22*A=60\\\\A= \frac{60}{22} \\\\A=3$

o coeficiente A vale 3

voltando na soma das raízes  

$\frac{-B}{A} =10\\\\ \frac{-B}{3} =10\\\\-B=10*3\\\\-B=30\\\\B=-30$