Question

Três fios de cobre de 75 metros, 90 metros e 120 metros de comprimento precisam ser cortados em pedaços iguais e no maior comprimento possivel. Quanto medirá cada pedaço?

Answer 1

Bom.

Suponhamos que cada pedaço medirá $x.$

Observe que $x$ deve ser o maior valor possível, de forma que

$\bullet\;\;$ 75 seja múltiplo de $x\,,$

$\bullet\;\;$ 90 seja múltiplo de $x\,,$

$\bullet\;\;$ 120 seja múltiplo de $x\,,$


ou em outras palavras,

$x$ deve ser o maior valor possível, de forma que

$x$ é divisor de 75, 90 e 120.

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O problema consiste em encontrar o máximo divisor comum entre 75, 90 e 120:

$x=\mathrm{mdc}(75,\,90,\,120)$

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Decompondo cada número em seus fatores primos:

$\begin{array}{r|l} 75&3\\ 25&5\\ 5&5\\ 1 \end{array}~~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c} 75=3\cdot 5^2 \end{array}}$


$\begin{array}{r|l} 90&2\\ 45&3\\ 15&3\\ 5&5\\ 1 \end{array}~~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c} 90=2\cdot 3^2\cdot 5 \end{array}}$


$\begin{array}{r|l} 120&2\\ 60&2\\ 30&2\\ 15&3\\ 5&5\\ 1 \end{array}~~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c} 120=2^3\cdot 3\cdot 5 \end{array}}$

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$x$ é o maior valor, de forma que ele seja divisor dos três números. Então, devemos escolher dentre os fatores primos comuns dos três números, cada um deles elevados ao seu menor expoente:

$\bullet\;\;$ os fatores primos comuns entre os três números são apenas 3 e 5;

$\bullet\;\;$ o menor expoente para o 3 é 1; e o menor expoente para o 5 é 1.


Portanto,

$x=3^1\cdot 5^1\\\\ x=3\cdot 5\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=15\text{ metros} \end{array}}$

Cada pedaço deve medir 15 metros.