Question

Achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa dada:

$f(x)= \frac{1}{x}, x=2$

Answer 1

i) Seja $r: y=mx+n$ a reta tangente procurada. Temos que, como ela é tangente à curva no ponto $x=2$, o valor de m é dado por $m=f'(2)$. Calculando seu valor teremos:

$f(x)=\frac1x=x^{-1}\Rightarrow f'(x)=-1.x^{-2}=-\frac{1}{x^2} \\ \\ f'(2)=-\frac{1}{2^2}\Rightarrow \boxed{m=-\frac14}$

ii) Temos o coeficiente angular da reta $r$, falta o linear. Para encontrá-lo temos que saber um ponto da reta, o que sabemos! Como a reta é tangente à curva no ponto de abscissa $x=2$ temos que o ponto $P=(2,\frac12)$ pertence tanto à curva quanto à reta. Substituindo os valores das coordenadas de $P$ em $r$ teremos:

$y=-\frac14x+n\Rightarrow \frac12=-\frac14.2+n\Rightarrow \boxed{n=1}$

Agora que temos os valores de $m$ e $n$ podemos escrever a equação da reta tangente:

$\boxed{\boxed{r: y=-\frac14x+1}}$