Question

Resolvendo a integral:
Ao Longo da curva R(t) = (t,t²) com 0 < t <, Obtemos:
Foto em anexo.

Answer 1

Calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre a curva $C:$

$\displaystyle\int_C y\,dx+x\,dy$

sendo $\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=(y,\,x)$ o campo vetorial

e a curva $C$ é o arco de parábola parametrizado por

$C(t)=(t,\,t^2)~~~~~\text{com }0\le t\le 1.$

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Calculando o vetor tangente:

$C'(t)=(1,\,2t)$

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A integral de linha pedida é

$\displaystyle\int_C \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}\\\\\\ =\int_{0}^{1} \overrightarrow{\mathbf{F}}(t,\,t^2)\cdot C'(t)\,dt\\\\\\ =\int_{0}^{1} (t^2,\,t)\cdot (1,\,2t)\,dt\\\\\\ =\int_{0}^{1} (t^2\cdot 1+t\cdot 2t)\,dt\\\\\\ =\int_{0}^{1} (t^2+2t^2)\,dt\\\\\\ =\int_{0}^{1} 3t^2\,dt\\\\\\ =t^3\big|_0^1$

$=1^3-0^3\\\\ =1$


Resposta: alternativa $\text{b. }1.$