Question

Definir a função da reta y = ax + b que passa pelos pontos A (1,5) e B (2,7) no Plano Cartesiano.

Answer 1

Dados dois pontos $A(x_{_{A}},\,y_{_{A}})$ e $B(x_{_{B}},\,y_{_{B}})\,,$ podemos obter a equação da reta $r$ que passa por $A$ e $B$ pela igualdade a seguir:

$r:~\dfrac{y-y_{_{A}}}{x-x_{_{A}}}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}~~~~~~(x_{_{B}}\ne x_{_{A}})$

Observe que o lado direito da igualdade acima nos fornece o coeficiente angular $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ da reta. Podemos reescrever a igualdade assim:

$\boxed{\begin{array}{c} r:~y-y_{_{A}}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}\cdot (x-x_{_{A}}) \end{array}}~~~~~~(x_{_{B}}\ne x_{_{A}})$

___________________________

Para os pontos $A(1,\,5)$ e $B(2,\,7)\,,$ a equação da reta é

$r:~y-y_{_{A}}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}\cdot (x-x_{_{A}})\\\\\\ r:~y-5=\dfrac{7-5}{2-1}\cdot (x-1)\\\\\\ r:~y-5=\dfrac{2}{1}\cdot (x-1)\\\\\\ r:~y-5=2\cdot (x-1)\\\\ r:~y-5=2x-2$

$r:~y=2x-2+5\\\\ \boxed{\begin{array}{c}r:~y=2x+3 \end{array}}$

Answer 2

y= ax +b      ∴  a + b = 5 x(-1)
                        2a + b = 7
                        _________
                        -a - b = -5
                         2a +b = 7
                        ________
                         a = 2

a + b = 5 ∴ 2 + b = 5 ∴ b= 5-2 =3
y = 2x + 3