Question

Qual o ponto máximo da função: f(x) = x^3 - 8*x^2 + 2 ?

Answer 1

$f(x)=x^{3}-8x^{2}+2$

Candidados a pontos extremos dessa função: Pontos críticos

Os pontos críticos serão aqueles que anulam a derivada de $f$, já que $f$ é uma função polinomial e, portanto, contínua para todo x real, assim como sua derivada.

$\bullet$ Achando a derivada de $f$:

$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}-8x^{2}+2)\\\\f'(x)=\frac{d}{dx}x^{3}-8\frac{d}{dx}x^{2}+0\\\\f'(x)=3x^{2}-8\cdot2x^{1}\\\\f'(x)=3x^{2}-16x$

$\bullet$ Achando os valores de $x$ que fazem $f'(x)=0$:

$f'(x)=0\\\\3x^{2}-16x=0\\\\x\cdot(3x-16)=0~\begin{cases}x=0\\\\3x-16=0~~\therefore~~x=\frac{16}{3}\end{cases}$

Temos dois candidatos para extremos relativos, basta avaliarmos o comportamento do sinal de $f'$

Note que $f'$ é uma função quadrática com uma parábola com concavidade para cima como gráfico. Como $f'$ possui duas raízes distintas, temos então que

$f'(x)~\textless~0~~\forall~x\in(0,\frac{16}{3})~~\longleftarrow~~f~\'e~crescente\\\\f'(x)~\textgreater~0~~\forall~x\in(-\infty,0)\cup(\frac{16}{3},+\infty)~~\longleftarrow~~f~\'e~decrescente$

Então, $f$ é crescente se $x~\textless~0$ e decrescente se $0~\textless~x~\textless~\frac{16}{3}$. Portanto, temos um ponto de máximo relativo em $x=0$

Por outro lado, $f$ é decrescente se $0~\textless~x~\textless~\frac{16}{3}$ e crescente se $x~\textgreater~\frac{16}{3}$, então há ponto de mínimo relativo em $x=\frac{16}{3}$

Note que esses extremos são relativos (e não absolutos), pois

$\bullet\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}[x^{2}\cdot(x-8)+2]=-\infty\\\\\bullet\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}[x^{2}\cdot(x-8)+2]=+\infty$

Achando o valor mínimo (relativo):

$f\bigg(\dfrac{16}{3}\bigg)=\bigg(\dfrac{16}{3}\bigg)^{3}-8\bigg(\dfrac{16}{3}\bigg)^{2}+2=\dfrac{4096}{27}-\dfrac{6144}{27}+\dfrac{54}{27}=-\dfrac{1994}{27}$

Achando o valor máximo (relativo):

$f(0)=0^{3}-8(0)^{2}+2=2$

E não há máximo absoluto.