Question

Severino Sombra decidiu preparar seu testamento. Segundo ele, depois de descontados 20% de impostos e 1/6 de despesas judiciais, a herança será dividida entre seus três herdeiros, proporcionalmente a 2/5, 3/2 e 2/3. O herdeiro que receberá o menor valor ficará com 38 mil reais. Qual o valor total da herança?

Answer 1

Suponhamos que o valor total da herança seja $x.$


De acordo com o enunciado, após os descontos de 20% de impostos e 1/6 de despesas judiciais, a fração que restará da herança será

$x-20\%\,x-\dfrac{1}{6}\,x\\\\\\ =1x-\dfrac{20}{100}\,x-\dfrac{1}{6}\,x\\\\\\ =\left(1-\dfrac{20}{100}-\dfrac{1}{6} \right )x\\\\\\ =\left(1-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6} \right )x\\\\\\ =\left(\dfrac{30}{30}-\dfrac{6}{30}-\dfrac{5}{30} \right )x\\\\\\ =\dfrac{30-6-5}{30}\,x\\\\\\ =\dfrac{19}{30}\,x$
__________________

Seja que $y=\dfrac{19}{30}\,x$ a quantidade que será dividida de forma diretamente proporcional a $\dfrac{2}{5},\,\dfrac{3}{2}$ e $\dfrac{2}{3}.$

Vamos comparar as três frações acima, reduzindo as ao mesmo denominador:

$\dfrac{12}{30},\,\dfrac{45}{30}$ e $\dfrac{20}{30}.$


Ora, sabemos que

$12<20<45\\\\ \dfrac{12}{30}<\dfrac{20}{30}<\dfrac{45}{30}\\\\\\ \dfrac{2}{5}<\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{2}$
___________________________

A soma das frações é

$\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}\\\\\\ =\dfrac{12}{30}+\dfrac{20}{30}+\dfrac{45}{30}\\\\\\ =\dfrac{77}{30}$
e essa fração será correspondente à herança total.

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O menor valor recebido pelo herdeiro será àquela correspondente à fração menor, que é $\frac{2}{5}:$


Montando a proporção, devemos ter

$\dfrac{y}{38\,000}=\dfrac{\left(\frac{77}{30} \right )}{\left(\frac{2}{5} \right )}\\\\\\ \dfrac{y}{38\,000}=\dfrac{77}{30}\cdot \dfrac{5}{2}\\\\\\ y=38\,000\cdot \dfrac{77}{\diagup\!\!\!\! 5\cdot 6}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\! 5}{2}\\\\\\ y=\dfrac{38\,000\cdot 77}{12}$

Substituindo $y$ pelo correspondente à herança sem os descontos,

$\dfrac{19}{30}\,x=\dfrac{38\,000\cdot 77}{12}\\\\\\ x=\dfrac{38\,000\cdot 77}{12}\cdot \dfrac{30}{19}\\\\\\ x=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\! 19\cdot 2\,000\cdot 77}{2\cdot 2\cdot 3}\cdot \dfrac{2\cdot 5\cdot 3}{\diagup\!\!\!\!\! 19}\\\\\\ x=\dfrac{2\,000\cdot 77}{\diagup\!\!\!\! 6\cdot 2}\cdot \diagup\!\!\!\! 6\cdot 5\\\\\\ x=1\,000\cdot 77\cdot 5\\\\ \boxed{\begin{array}{c} x=\mathrm{R\ ~}385\,000,00 \end{array}}$

O valor total da herança é R$ 385 000,00.

Answer 2

Resposta:385 mil

Eu calculei e esta tudo certo