Question

Calculo:
Achar a superfície definida entre as funções y= x² - 2x e y= -4x + 2x².

Answer 1

Veja que são duas parábolas com concavidade prá cima com intersecção nas raizes (0 e 2 ). A área pedida é a diferença entre as duas (em valor absoluto)
y= x² - 2x
y = 0 ==> x = 0 ou x = 2
A1 = ∫(x² - 2x)dx [0 ; 2]
A1 = (x³/3 - x²) [0 ; 2]
A1 = 8/3 - 4 = -4/3

y= -4x + 2x²
y = 0 ==> x = 0 ou x = 2
A2 = ∫(-4x + 2x²) [0 ; 2]
A2 = (-2x² + 2x³/3) [0; 2]
A2 = -8 + 16/3 =  - 8/3

A = 8/3 - 4/3 = 4/3 u.a. (resp)

Answer 2

y = x² - 2x  e  y = - 4x + 2x²

x² - 2x = - 4x + x²
x² - 2x² = - 4x + 2x
-x² = - 2x
- 2x + x² = 0  ⇒ Organizando:  x² - 2x = 0

Fórmula de Báskara: a = 1  b = -2   c = 0

Δ = b² - 4*a*c
Δ = (-2)² - 4*1*0
Δ = 4
√4 = 2

x = $\frac{- b +- √Δ}{2*a}$

x = $\frac{- (-2) + - \sqrt{Δ} }{2*1}$

x = $\frac{- (-2) + - 2}{2}$

x' = $\frac{+2+2}{2}$ ⇒ $\frac{4}{2}$ ⇒ 2

x'' = $\frac{+2 - 2}{2}$ ⇒ $\frac{0}{2}$ ⇒ 0

Portanto o intervalo será entre 0 e 2:
0≤x≤2 ⇒ x = 1

y = x² - 2x
y = (1)² - 2*1
y = -1

y = - 4x + 2x²
y = - 4*1 + 2*(1)²
y = -2

⇒ x² - 2x ≥ - 4x + 2x²

$\int\limits^0_2 {x² - 2x - (-4x + 2x²)} \, dx$

$\int\limits^0_2 {x² - 2x + 4x - 2x²} \, dx$

$\int\limits^0_2 {x²} \, dx - \int\limits^0_2 {2x} \, dx + \int\limits^0_2 {4x} \, dx - \int\limits^0_2 {2x²} \, dx$

$\frac{x³}{3} - \frac{2x²}{2} + \frac{4x²}{2} - \frac{2x³}{3}$ ]0 a 2

Substituindo temos:


((0)³/3 - 2*(0)²/2 + 4*(0)²/2 - 2*(0)³/3) - ((2)³/3 - 2*(2)²/2 + 4*(2)²/2 - 2*(2)³/3)

0 - (8/3 - 4 + 8 - 16/3)

8/3 + 4 - 8 + 16/3

$\frac{8 + 12 - 24 + 16}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4