Question

Interpolar dois meios geométricos entre 5 e 40

Answer 1

a1 = 5
an = 40
n = 2+2
n = 4
an = a1.q^n-1
40 = 5.q^4-1
40/5 = q^3
q^3 = 8
q = ∛8
q = 2

Answer 2

✅ Após finalizar os cálculos, concluímos que a progressão geométrica procurada é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ P.A.(5, {\bf 10, 20, \:} 40) \:\:\:}}\end{gathered} }$

Sabemos que para calcular qualquer termo de um progressão geométrica devemos utilizar a fórmula do termo geral que nos diz:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{n} = A_{1}\cdot q^{n - 1}\end{gathered}$

Se queremos inserir uma quantidade de meios geométricos entre dois valores extremos, devemos, primeiramente, calcular o valor da razão da progressão geométrica. Neste caso, devemos isolar a razão "q" no primeiro membro da equação "I", isto é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} q = \sqrt[n - 1]{\frac{A_{n}}{A_{1}}}\end{gathered} }$

Além disso, devemos saber que o total de termos "n" da progressão é igual ao número de meios "m" acrescido de "2", isto é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = m + 2\end{gathered}$

Desta forma, temos os seguintes dados:

             $\Large\begin{cases} m = 2\\n = m + 2 = 2 + 2 = 4\\A_{1} = 5\\A_{4} = 40\end{cases}$

Substituindo os dados na equação "II", temos:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} q = \sqrt[4 - 1]{\frac{40}{5}} = \sqrt[3]{8} = 2\end{gathered} }$

Portanto, o valor da razão é:

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} q = 2\end{gathered}$

Agora, devemos montar cada um dos termos da progressão geométrica:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{1} = 5\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{2} = A_{1} \cdot r = 5 \cdot 2 = 10\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{3} = A_{2} \cdot r = 10 \cdot 2 = 20\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{4} = A_{3} \cdot r = 20 \cdot 2 = 40\end{gathered}$

✅ Portanto, a progressão aritmética procurada é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} P.A.(5, {\bf 10, 20, \:} 40)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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