Question

Que ângulo deve fazer dois vetores de mesma intensidade para que o módulo da resultante seja igual ao de cada componente?Prove matematicamente.

Answer 1

R.: 120º.

Para provar matematicamente, considere um plano cartesiano, com origem em O(0,0).

Seja o vetor A, de módulo X, colocado no eixo das abscissas positivas, com início em O e término em (X,0). Seja o vetor B, de módulo X, colocado inclinado 120º com relação às abscissas positivas, com início em (X,0) e término em (a,b).

O vetor da resultante (soma) entre A e B, portanto, terá origem em (0,0) e término em (a,b), de modo que o módulo desta será igual a $\sqrt{a^{2} +b^{2} }$.

Considere, neste plano, o triângulo formado pelos pontos M(X,0), N(a,b) e P(a,0). Ele é retângulo em P. Além disso, o ângulo NMP vale 60º (180º - 120º), de modo que:

sen 60º = $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ = NP/NM = b/X -> b = $\frac{ \sqrt{3}X}{2}$
cos 60º = 1/2 = MP/MN = (X - a)/X -> X = 2X - 2a -> a = x/2

O módulo da resultante, portanto, será: $\sqrt{ (\frac{X}{2})^{2} + (\frac{ \sqrt{3} X}{2})^{2}$

Desenvolvendo a raiz, teremos que o módulo da resultante vale X.