Question

Considerando $5y + cosy=xy$ , determine a expressão $\frac{dy}{dx} .$

Answer 1

d(5y) / dx + d(cos y) / dx = d(xy) / dx

5dy / dx - sen y * dy / dx = y + x * dy / dx

5dy / dx - sen y * dy / dx - x * dy / dx = y 

colocando dy/dx em evidência:

dy / dx * (5 - sen y - x) = y

dy / dx = y / (5 - seny - x)

Answer 2

Devemos derivar a expressão implicitamente para encontrarmos $\frac{dy}{dx}$. Para isso, usaremos a regra da cadeia

A regra da cadeia diz que

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$

Ou seja, queremos derivar y em relação a x, e isso é a mesma coisa que derivarmos y em relação a u e multiplicar pela derivada de u em relação a x. Assim:

$\dfrac{d}{dx}f(y)=\dfrac{d}{dy}f(y)\dfrac{dy}{dx}=f'(y)\dfrac{dy}{dx}$
______________________________

$5y+cos(y)=xy$

Derivando a expressão implicitamente em relação a x:

$\frac{d}{dx}[5y+cos(y)]=\frac{d}{dx}[xy]\\\\\frac{d}{dx}(5y)+\frac{d}{dx}cos(y)=y\frac{d}{dx}x+x\frac{d}{dx}y\\\\5\frac{dy}{dy}\frac{dy}{dx}+\frac{d}{dy}[cos(y)]\frac{dy}{dx}=y\cdot1+x\frac{dy}{dx}\\\\5\frac{dy}{dx}-sen(y)\frac{dy}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}\\\\5\frac{dy}{dx}-sen(y)\frac{dy}{dx}-x\frac{dy}{dx}=y$

Colocando $\frac{dy}{dx}$ em evidência:

$\frac{dy}{dx}\cdot(5-sen(y)-x)=y\\\\\boxed{\boxed{\frac{dy}{dx}=\dfrac{y}{5-sen(y)-x}}}$