Question

Dada a função f definida por f(x,y) = 3xy+ 4xy², determine as derivadas parciais indicadas
fx(x,y), fy(3,1) e fxy(x,y)

Answer 1

$f(x,y)=3xy+4xy^2$

$fx(x,y)= \frac{df(x,y)}{dx}$
é a derivada da função f(x,y) em relação ao x
então neste caso..y será considerada uma constante

$\frac{df(x,y)}{dx} = \frac{d(3xy)}{dx} + \frac{d(4xy^2)}{dx}$

no primeiro termo..como x é a variavel então 3 e y são constantes
derivada de uma constante por uma variavel vc mantem a constante e deriva a variavel
então é só vc tirar 3y e colocar fora do parenteses

$\frac{df(x,y)}{dx} = 3y(\frac{d(x)}{dx}) +4y^2( \frac{d(x)}{dx})$
agora derivando o que esta dentro do parenteses
$\frac{df(x,y)}{dx} = 3y*1+4y^2*1=\boxed{3y+4y^2}$
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$fy(3,1)=fy(x,y)= \frac{df(x,y)}{dy}$
é a derivada da função f(x,y) em relação a y então o x será constante
e calculada no ponto x=3 ..y=1

$\frac{df(x,y)}{dy} = \frac{d(3xy)}{dy} + \frac{d(4xy^2)}{dy} \\\\= 3x(\frac{d(y)}{dy} )+ 4x(\frac{d(y^2)}{dy} )\\\\=3x*1+4x*2y\\\\\ =3x+8xy\\\\ \boxed{ \frac{df(x,y)}{dy} = x(3+8y)}$

calculando no ponto x =3 e y=1
$fy(3,1)=3(3+8*1)=3*11=33$

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$fxy(x,y)= \frac{d(\frac{df(x,y)}{dx}) }{dy} = \frac{d(\frac{df(x,y)}{dy}) }{dx}$
isso quer dizer q vc deriva a função primeiro em relação ao x
e depois derivar o resultado obtido em relação ao y
ou
 se vc derivar primeiro a função em relação ao y
e depois derivar o resultado obtido em relação ao x 
o resultado será o mesmo


$\frac{df(x,y)}{dx} =3y+4y^2$
derivando isso em relação a y 
$\frac{d(3y)}{dy} + \frac{d(4y^2)}{dy} \\\\ 3(\frac{d(y)}{dy}) +4 (\frac{d(y^2)}{dy})\\\\3*1+4*2y=3+8y$

$\boxed{fxy(x,y)=3+8y}$
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$\frac{df(x,y)}{dy} = x(3+8y)=3x+8xy$

$\frac{d(\frac{df(x,y)}{dy}) }{dx}=\frac{d(3x) }{dx} + \frac{d(8xy)}{dx} = 3(\frac{d(x)}{dx}) +8y( \frac{d(x)}{dx} )=3+8y$