Question

Demonstre a identidade trigonométrica de

$\boxed{\frac{secx-cosx}{secx+cosx}= \frac{tg ^{2}x }{1+sec ^{2}x }}$

Answer 1

temos:

$\frac{sec(x)-cos(x)}{sec(x)-cos(x)}=\frac{tan^2(x)}{1+sec^2(x)}$

pegando uma parte

$\frac{sec(x)-cos(x)}{sec(x)+cos(x)}$

vamos multiplicar por $\frac{cos(x)}{cos(x)}$

$\frac{sec(x)-cos(x)}{sec(x)+cos(x)}*\frac{cos(x)}{cos(x)}$

$\frac{1-cos^2(x)}{1+cos^2(x)}$

Multiplica agora tudo por $\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)}$

$\frac{sin^2(x)}{1+cos^2(x)}*\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)}$

Agora vou escrever de forma diferente

$\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}*\frac{cos^2(x)}{1+cos^2(x)}$

$tan^2(x)*\frac{cos^2(x)}{1+cos^2(x)}$

reescrevendo a fração

$tan^2(x)*\frac{1}{\frac{1}{cos^2(x)}+\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)}}$

$tan^2(x)*\frac{1}{sec^2(x)+1}$

$\boxed{\boxed{\frac{tan^2(x)}{sec^2(x)+1}}}$

então provando

$\frac{tan^2(x)}{sec^2(x)+1}$

fazendo o caminho ao contrário, abrindo a tangente

$\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}*\frac{1}{sec^2(x)+1}$

$\frac{sin^2(x)}{1+cos^2(x)}$

$sin^2(x)=1-cos^2(x)$

$\frac{1-cos^2(x)}{1+cos^2(x)}$

$\frac{\frac{1}{cos(x)}-cos(x)}{\frac{1}{cos(x)}+cos(x)}$

$\boxed{\boxed{\frac{sec(x)-cos(x)}{sec(x)+cos(x)}}}$

Então.... Está ai em cima a "Prova da identidade"

$\boxed{\boxed{\boxed{\frac{sec(x)-cos(x)}{sec(x)-cos(x)}=\frac{tan^2(x)}{1+sec^2(x)}}}}$