Question

Alguém pode resolver?
Desde de já aagradeço

Answer 1

Dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, possuem as mesmas soluções; isto é, os conjuntos-solução dos sistemas são iguais entre si.

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Questão 1.

Os sistemas

$\left\{\! \begin{array}{l} ax+2y=-1\\\\ 3x+by=3 \end{array} \right.~~~\text{ e }~~~\left\{\! \begin{array}{l} 2x+y=1\\\\ x-y=-4 \end{array} \right.$

são equivalentes.


Resolvendo o segundo sistema:

$\left\{\! \begin{array}{l} 2x+y=1\\\\ x-y=-4 \end{array} \right.$


Somando as equações membro a membro, obtemos

$2x+x+\diagup\!\!\!\! y-\diagup\!\!\!\! y=1-4\\\\ 3x=-3\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=-1 \end{array}}$


Substituindo o valor de $x$ na segunda equação do sistema, temos

$-1-y=-4\\\\ -y=-4+1\\\\ -y=-3\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y=3 \end{array}}$


Portanto, a solução do primeiro sistema também deve ser o par ordenado

$(x,\,y)=(-1,\,3)$


$\bullet\;\;$ Substituindo os valores de $x$ e $y$ na primeira equação do primeiro sistema:

$\left\{\! \begin{array}{l} ax+2y=-1\\\\ 3x+by=-3 \end{array} \right.$


$a\cdot (-1)+2\cdot (3)=-1\\\\ -a+6=-1\\\\ -a=-1-6\\\\ -a=-7\\\\ \boxed{\begin{array}{c}a=7 \end{array}}$


Substituindo os valores de $x$ e $y$ na segunda equação do primeiro sistema:

$3\cdot (-1)+b\cdot (3)=3\\\\ -3+3b=3\\\\ 3b=3+3\\\\ 3b=6\\\\ \boxed{\begin{array}{c}b=2 \end{array}}$


Portanto,

$a+b\\\\ =7+2\\\\ =9$


Resposta: alternativa $\text{b) }9.$

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Questão 2.

De forma análoga à questão 1, vamos resolver o segundo sistema:

$\left\{ \!\begin{array}{l} 2x-y=4\\\\ 3x+y=1 \end{array} \right.$


Somando as duas equações membro a membro:

$2x+3x-\diagup\!\!\!\! y+\diagup\!\!\!\! y=4+1\\\\ 5x=5\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=1 \end{array}}$


Substituindo o valor de $x$ na segunda equação deste sistema:

$3\cdot (1)+y=1\\\\ -3+y=1\\\\ y=1+3\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y=4 \end{array}}$


Portanto, a solução do primeiro sistema também deve ser o par ordenado

$(x,\,y)=(1,\,-2)$


$\bullet\;\;$ Substituindo os valores de $x$ e $y$ na primeira equação do primeiro sistema:


$\left\{ \!\begin{array}{l} mx-5y=3\\\\ 3x+ky=4 \end{array} \right.$


$m\cdot (1)-5\cdot (-2)=3\\\\ m+10=3\\\\ m=3-10\\\\ \boxed{\begin{array}{c}m=-7 \end{array}}$


Substituindo os valores de $x$ e $y$ na segunda equação do primeiro sistema:

$3\cdot (1)+k\cdot (-2)=4\\\\ 3-2k=4\\\\ -2k=4-3\\\\ -2k=1\\\\ \boxed{\begin{array}{c}k=-\,\dfrac{1}{2} \end{array}}$


A alternativa que se aplica aqui é

$m\cdot k\\\\ =(-7)\cdot \left(-\,\dfrac{1}{2} \right )\\\\\\ =\dfrac{7}{2}$


Resposta: alternativa $\text{d) }m\cdot k=\dfrac{7}{2}.$