Question

Um automóvel faz metade de um percurso com velocidade média de 40 km/h e a outra metade
com velocidade média de 60 km/h. Qual a velocidade média do automóvel no percurso todo?

Answer 1

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     Pergunta:

Um automóvel faz metade de um percurso com velocidade média de 40 km/h e a outra metade com velocidade média de 60 km/h. Qual a velocidade média do automóvel no percurso todo?

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     Solução:

Suponha que a distância percorrida no percurso total seja  d = 2x.


Na 1ª metade do percurso:

     •   velocidade média:  v₁ = 40 km/h;

     •   distância percorrida:  d₁ = x;

     •   tempo para percorrer a 1ª metade do percurso:  Δt₁.


De acordo com a equação da velocidade média, temos
 
                  d₁ 
     v₁  =  ———
                 Δt₁

     v₁ · Δt₁ = d₁

                   d₁ 
     Δt₁  =  ———         (i)
                   v₁


Na 2ª metade do percurso:

     •   velocidade média:  v₂ = 60 km/h;

     •   distância percorrida:  d₂ = x;

     •   tempo para percorrer a 2ª metade do percurso:  Δt₂.


Novamente, de acordo com a equação da velocidade média, temos
 
                  d₂ 
     v₂  =  ———
                 Δt₂

     v₂ · Δt₂ = d₂

                   d₂ 
     Δt₂  =  ———          (ii)
                   v₂

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No percurso total:

     •   velocidade média:  v;

     •   distância percorrida:  d = d₁ + d₂ = 2x;

     •   tempo para percorrer o percurso total:  Δt = Δt₁ + Δt₂.


Pela equação da velocidade média, a velocidade no percurso total é

                 d 
     v  =  ———
                Δt

                     2x 
     v  =  ——————
                Δt₁ + Δt₂

                     2x 
     v  =  ——————
               x          x
            ——  +  ——
              v₁         v₂


Simplificando o numerador e o denominador por  x,  temos

                       2 
     v  =  ———————
                 1           1
              ——  +  ——
                v₁          v₂


De acordo com a fórmula acima, temos que a velocidade média no percurso total é igual à média harmônica das velocidades médias em cada trecho.

Perceba também que a velocidade média não depende do comprimento do trecho total.

Substituindo os valores conhecidos, temos

                       2 
     v  =  ———————
                  1           1
               ——  +  ——
                40        60


Multiplique o numerador e o denominador por  mmc(40, 60) = 120  para simplificar os cálculos:

                        2 · 120
     v  =  ——————————
                 120         120
               ———  +  ———
                  40           60

                  240
     v  =  —————
              30 + 20

               240
     v  =  ———
                50

     v = 48 km/h   <———   esta é a resposta.


Bons estudos! :-)