Question

Calcule a integral dupla ∫∫ xy² dA
Sobre a região retangular 1 ≤ x ≤ 2 e -1 ≤ y ≤ 1.

Answer 1

Como a região é um retângulo, ambos os extremos de $x$ e $y$ são constantes.

Então nesse caso, podemos escolher arbitrariamente a ordem de integração.

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Por exemplo, vamos escrever as integrais iteradas na ordem $dy\,dx:$

$\displaystyle\iint_D xy^2\,dA\\\\\\ =\int_1^2\int_{-1}^1 xy^2\,dy\,dx\\\\\\ =\int_1^2 x\cdot \left.\left(\dfrac{y^3}{3} \right )\right|_{-1}^1\,dx\\\\\\ =\int_1^2 x\cdot \left(\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{(-1)^3}{3} \right )\,dx\\\\\\ =\int_1^2 x\cdot \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{(-1)}{3} \right )\,dx\\\\\\ =\int_1^2 x\cdot \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3} \right )\,dx\\\\\\ =\int_1^2 \dfrac{2}{3}\,x\,dx$

$=\dfrac{2}{3}\cdot \left.\left(\dfrac{x^2}{2} \right )\right|_1^2\\\\\\ =\dfrac{1}{3}\cdot (x^2)\big|_1^2\\\\\\ =\dfrac{1}{3}\cdot (2^2-1^2)\\\\\\ =\dfrac{1}{3}\cdot (4-1)\\\\\\ =\dfrac{1}{3}\cdot 3\\\\\\ =1$