Question

Quantos são os números naturais N tais que 5n-12/n-8 é também número natural?

Answer 1

$\dfrac{5n-12}{n-8}$


Temos uma fração cujo denominador é $(n-8).$ A ideia aqui é fazer com que apareça no numerador um múltiplo inteiro de $(n-8).$

Observe que

$5n-40=5\cdot (n-8)$


Então, se subtrairmos e somarmos $40$ ao numerador, vamos obter um múltiplo inteiro de $(n-8),$ e assim será possível fazer a simplificação com o denominador:


Subtraindo e adicionando $40$ ao numerador, obtemos

$\dfrac{5n-12}{n-8}\\\\\\=\dfrac{5n-40+40-12}{n-8}\\\\\\=\dfrac{5n-40+28}{n-8}\\\\\\ =\dfrac{5n-40}{n-8}+\dfrac{28}{n-8}\\\\\\ =\dfrac{5\cdot (n-8)}{n-8}+\dfrac{28}{n-8}\\\\\\ =5+\dfrac{28}{n-8}\\\\\\\\ \therefore~~ \dfrac{5n-12}{n-8}=5+\dfrac{28}{n-8}~~~~~~\text{com }n\ne 8$


De acordo com a última igualdade acima, para que a fração dada seja um número natural, é necessário e suficiente que


$\bullet\;\;n-8$ seja um divisor inteiro de $28\,;$

Dessa forma, garantimos que $\dfrac{28}{n-8}\in\mathbb{Z}$


$\bullet\;\;\dfrac{28}{n-8}\ge -5$

Aqui, garantimos que $5+\dfrac{28}{n-8}\in\mathbb{N}$

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Da primeira condição, devemos ter

$n-8\in \text{Divisores}(28)\\\\\\ n-8\in \{\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 4,\,\pm 7,\,\pm 14,\,\pm 28\}$


Mas $n$ é natural, logo,

$n\ge 0~~\Rightarrow~~n-8\ge -8$


Então, podemos descartar do nosso conjunto de possibilidades o $-14$ e o $-28.$ E assim, reduzimos o nosso problema a

$n-8\in \{\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 4,\,\pm 7,\,14,\,28\}\\\\ n\in \{8+1,\,8-1,\,8+2,\,8-2,\,8+4,\,8-4,\,8+7,\,8-7,\,8+14,\,8+28\}\\\\ n\in \{9,\,7,\,10,\,6,\,12,\,4,\,15,\,1,\,22,\,36\}$

(10 possibilidades)

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Resta-nos agora, garantir que $\dfrac{28}{n-8}\ge -5.$

Vamos varrer todas as 10 possibilidades:

$\bullet\;\;$ Para $n=9:$

$\dfrac{28}{9-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{1}\\\\ =28\ge -5~~~~(\checkmark)$


$\bullet\;\;$ Para $n=7:$

$\dfrac{28}{7-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{-1}\\\\ =-28<-5~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)$


$\bullet\;\;$ Para $n=10:$

$\dfrac{28}{10-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{2}\\\\ =14\ge-5~~~~(\checkmark)$


$\bullet\;\;$ Para $n=6:$

$\dfrac{28}{6-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{-2}\\\\ =-14<-5~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)$


$\bullet\;\;$ Para $n=12:$

$\dfrac{28}{12-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{4}\\\\ =7\ge -5~~~~(\checkmark)$


$\bullet\;\;$ Para $n=4:$

$\dfrac{28}{4-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{-4}\\\\ =-7< -5~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)$


$\bullet\;\;$ Para $n=15:$

$\dfrac{28}{15-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{7}\\\\ =4\ge -5~~~~(\checkmark)$


$\bullet\;\;$ Para $n=1:$

$\dfrac{28}{1-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{-7}\\\\ =-4\ge -5~~~~(\checkmark)$


$\bullet\;\;$ Para $n=22:$

$\dfrac{28}{22-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{14}\\\\ =2\ge -5~~~~(\checkmark)$


$\bullet\;\;$ Para $n=36:$

$\dfrac{28}{36-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{28}\\\\ =1\ge -5~~~~(\checkmark)$

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Logo, os valores possíveis para $n$ formam o seguinte conjunto:

$\{9,\,10,\,12,\,15,\,1,\,22,\,36\}$

e portanto há sete valores possíveis para $n\,,$ de forma que

$n\in\mathbb{N}~~\text{ e }~~\dfrac{5n-12}{n-8}\in\mathbb{N}$


Bons estudos! :-)