Question

Verifique se em cada um dos casos seguintes as retas r e s são concorrentes. Em caso afirmativo, determine o ponto P comum a elas e escreva uma equação geral do plano determinado por elas.

reta r1                                    
x = t                                         
y= -t                                         
z = 1+4t                              

reta r2
(x-1) / 3
( y-5) / 3
( z+2) / 5 

resposta: Ponto ( -2,2,-7)  e Eq. plano -> -17x + 7y + 6z - 6 = 0

Answer 1

$r_1:~~~~~~\begin{Bmatrix}x&=&t\\y&=&-t\\z&=&1+4t\end{matrix}$

escrevendo a reta 2 também em paramétrica

$r_2:~~~~~~\begin{Bmatrix}x&=&1+3h\\y&=&5+3h\\z&=&-2+5h\end{matrix}$


Agora escolhe duas equações e iguale-as

vou escolher a X e Y das duas retas

$\begin{Bmatrix}t&=&1+3h\\-t&=&5+3h\end{matrix}$

resolvendo o sistema temos:

$\begin{Bmatrix}t&=&-2\\h&=&-1\end{matrix}$

Dai substuindo nas equações teremos o ponto

$P(-2,2,-7)$

agora vamos zerar todos os parâmetros, precisamos de um ponto para pegar de referência...

$P_1=(0,0,1)$

$P_2=(1,5,-2)$

$\overrightarrow{PP_1}=(2,-2,8)$

$\overrightarrow{PP_2}=(3,3,5)$

Agora calculemos o produto vetorial para encontrar o vetor normal

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{PP_1}\times\overrightarrow{PP_2}$

$\overrightarrow{n}=(-34,14,12)$

Daiiii... o plano é:

$\pi:~~~~~~~~ax+by+cz+d=0$

$-34x+14y+12z+d=0$

Agora vamos jogar um dos 3 pontos que nós temos... vou jogar o mais simples

$P_1(0,0,1)$

$12*1+d=0$

$\boxed{d=-12}$

$-34x+14y+12z-12=0$

como geralmente deixamos o X positivo, e da pra multiplicar por meio...

$\boxed{\boxed{\pi:~~~~~~~~17x-7y-6z+6=0}}$