Question

determinar os vetores projeção de v=4i-3j+2k sobre o eixo cartesiano x,y e z.

Answer 1

Resposta:

x=(4,0,0) ou 4i

y=(0,-3,0) ou -3j

z=(0,0,2) ou 2k

Explicação passo-a-passo:

Vetor v=(4,-3,2)

Projetados nos vetores:

x=(1,0,0)

y=(0,1,0)

z=(0,0,1)

Proj. de v em x=((v.x)/(x.x)).x => (4/1).(1,0,0)=(4,0,0) ou 4i

v.x = (4,-3,2).(1,0,0)=4

x.x=(1,0,0).(1,0,0)=1

Proj. de v em y=((v.y)/(y.y)).y => -3/1.(0,1,0)=(0,-3,0) ou -3j

v.y=(4,-3,2).(0,1,0)= -3

y.y=(0,1,0).(0,1,0)=1

Proj. de v em z=((v.z)/z.z)).z => 2/1.(0,0,1)=(0,0,2) ou 2k

v.z=(4,-3,2).(0,0,1)=2

z.z=(0,0,01).(0,0,1)=1

Answer 2

Os vetores projeções de v sobre o eixo cartesiano são:

• P(v,x) = 4i
• P(v,y) = -3j
• P(v,z) = 2k

Produto escalar

A definição do produto escalar pode ser dada através da expressão abaixo onde u e v são vetores em R3:

$u \cdot v = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$

Para calcular a projeção de um vetor u sobre um vetor v, utilizamos a seguinte expressão:

P(u,v) = v(u·v)/(v·v)

Neste caso, temos que calcular a projeção de v sobre os vetores unitários:

P(v,x) = (1, 0, 0)(4·1 + (-3)·0 + 2·0)/(1·1 + 0·0 + 0·0)

P(v,x) = (1, 0, 0)(4/1)

P(v,x) = (4, 0, 0) = 4i

P(v,y) = (0, 1, 0)(4·0 + (-3)·1 + 2·0)/(0·0 + 1·1 + 0·0)

P(v,y) = (0, 1, 0)(-3/1)

P(v,y) = (0, -3, 0) = -3j

P(v,z) = (0, 0, 1)(4·0 + (-3)·0 + 2·1)/(0·0 + 0·0 + 1·1)

P(v,z) = (0, 0, 1)(2/1)

P(v,z) = (0, 0, 2) = 2k

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