Question

Geometria Analitica
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Answer 1

Ver figura 1 e figura 2 em anexo.

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$P(0,\,2,\,-2)\in r\\\\ A(0,\,2,\,1)\in\mathbb{R}^3$


Um vetor diretor de $r$ é $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(1,\,-1,\,2).$


Com essas informações, já podemos obter o vetor $\overrightarrow{PA}:$

$\overrightarrow{PA}=A-P\\\\ \overrightarrow{PA}=(0,\,2,\,1)-(0,\,2,\,-2)\\\\ \overrightarrow{PA}=(0,\,2-2,\,1-(-2))\\\\ \overrightarrow{PA}=(0,\,0,\,3)$

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Supondo que exista algum ponto $X$ da reta $r$ de forma que

$\|\overrightarrow{XA}\|=\sqrt{3}~~~~~~\mathbf{(i)}$

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Como $P,\,X\in r\,,$ tiramos que

$\overrightarrow{PX}\parallel\overrightarrow{\mathbf{v}}\\\\ \overrightarrow{PX}=\lambda \overrightarrow{\mathbf{v}}\\\\ \overrightarrow{PX}=\lambda\,(1,\,-1,\,2)\\\\ \overrightarrow{PX}=(\lambda,\,-\lambda,\,2\lambda)~~~~\text{para algum }\lambda\in \mathbb{R}~~~~~~\mathbf{(ii)}$

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Por soma de vetores, temos também que

$\overrightarrow{PX}+\overrightarrow{XA}=\overrightarrow{PA}\\\\ \overrightarrow{XA}=\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PX}\\\\ \overrightarrow{XA}=(0,\,0,\,3)-(\lambda,\,-\lambda,\,2\lambda)\\\\ \overrightarrow{XA}=(-\lambda,\,\lambda,\,3-2\lambda)~~~~~~\mathbf{(iii)}$

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O módulo de $\overrightarrow{XA}$ deve ser igual a $\sqrt{3}:$

$\|\overrightarrow{XA}\|=\sqrt{3}\\\\ \|\overrightarrow{XA}\|^2=3\\\\ \|(-\lambda,\,\lambda,\,3-2\lambda)\|^2=3\\\\ (-\lambda)^2+(\lambda)^2+(3-2\lambda)^2=3\\\\ \lambda^2+\lambda^2+9-12\lambda+4\lambda^2=3\\\\ 6\lambda^2-12\lambda+9-3=0\\\\ 6\lambda^2-12\lambda+6=0\\\\ 6\cdot (\lambda^2-2\lambda+1)=0\\\\ \lambda^2-2\lambda+1=0$

$(\lambda-1)^2=0\\\\\lambda-1=0\\\\\lambda=1$


Como a equação é de grau 2 em $\lambda\,,$ temos uma raiz repetida:

$\lambda_1=\lambda_2=1$

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Ora, temos apenas um valor real para $\lambda\,,$ portanto o ponto $X$ é único. Logo, a distância do ponto $A$ até a reta $r$ é igual a $\sqrt{3}.$

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Encontrando as coordenadas do ponto $X:$

$X=P+\overrightarrow{PX}\\\\ X=P+\lambda\,(1,\,-1,\,2)\\\\ X=(0,\,2,\,-2)+1\cdot (1,\,-1,\,2)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}X=(1,\,1,\,0) \end{array}}$